(完整word版)用二元一次方程组解决问题例题

用二元一次方程组解决问题例题

目标认知

学习目标：

1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性

3．体会列方程组比列一元一次方程容易

4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力

5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；

重点：

1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

难点：正确找出问题中的两个等量关系

知识要点梳理

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；

；

(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③船的顺水速度－船的逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.

3．商品销售利润问题：

(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的

十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：

(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

(2)基本关系式

①利息＝本金×利率×期数

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)

③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥。

注意：免税利息=利息

5．配套问题：

解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6．增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；

原量×(1－减少率)＝减少后的量.

7．和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

8．数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字

9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.

10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；

（2）设：根据题意设元

（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（6）检：检查所求的解是否符合实际问题;

（7）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

要点诠释：

(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

解答步骤简记为：问题方程组解答

(4)列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

经典例题透析

类型一：列二元一次方程组解决——行程问题

1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

思路点拨：画直线型示意图理解题意：