数形结合,例题解析

利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。数形结合的主要方法有：图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有：构造函数实现转化、构造图形实现转化。

一、构造函数，实现转化

把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。

例1：方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小关系是（）

a.α＜β

b.α=β

c.α＞β

d.无法确定

■

分析：由x+log2x=2得log2x=2－x，由x+log3x=2得log3x=2－x，分别构造函数y=log2x，y=log3x及y=2－x，并作出它们的图像，由图易得答案为a。

例2：方程■-|ax|=0（a∈r）解的个数是

（）

a.4个

b.2个

c.0个

d.与a的取值有关

■

分析：原方程可化为■=|ax|，分别作函数y＝■与y＝|ax|的图像，由图知，应选b。

二、构造几何图形，实现转化

在解题时，我们常通过构造几何图形，实现问题转化，如把a转化为距离，把a2或ab 转化为面积，a2 +b2+ab转化为余弦定理，把sinα转化为直角三角形中边角关系等。

例3：若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，求证tgαtgβtgγ≤2■。

分析：由已知条件可设α、β、γ为一长方形的一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角，从而命题容易得证。

■

证明：如图，设长方形体abcd－a1b1c1d1的长、宽、高为a，b，c，∵cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，∴可设∠d1ba=α，∠d1bc=β，∠d1bb1=γ，连结bd1，则tgα＝■，同理tgβ＝■，tgγ＝■，tgαtgβtgγ=■·■·■≤■=2■，当且仅当a＝b＝c时取等号，故命题成立。

例4：设x＞0，y＞0，z＞0，求证：■＋■＞■。

■

分析：注意到■＝■表示以x、y为两边，夹角为60°的三角形第三边，另两边也有同样意义。故构造如图的四面体，使∠aob＝∠boc＝∠coa＝60°，则有ab＝■，bc＝■， ca ＝■，原命题转化成了求证ab＋bc＞ca，这显然是成立的。

三、如果已知条件是函数问题，则应善于发现各个量所表示的几何意义，然后再把所要研究问题转化为平面几何或解析几何问题进行解决

例5：求y=|x＋1|＋|x－2|的最小值。

解：由绝对值几何意义不难得出，最小值为3。

例6：函数y＝■的最大值＝，最小值＝。

■

分析：本题可把求值问题转化为求切线斜率问题。由于y＝■＝■，表示过点p（2,3）与单位圆上一点（－cosx,sinx)的直线的斜率，由图知，当直线与圆相切时，分别可得到ymax ＝2＋■，ymin＝2-■。

例7：y＝■+■取得最小值时x的值是。

■

分析：注意到■+■=■+■表示x轴上的点m（x，0）到点a（－1，2）与b（0，－1）的距离之和。由平面几何知识得，当m（x，0）为ab与x轴交点时，ymin=10，此时x＝■。

例8：求函数m＝(s-t)2+(■－■)最小值。

■

分析：由于已知代数的结构与两点间距离公式完全一致，可看作是求两点(s，■)与(t，■)的距离的最小值，∵点m(s，■)在半圆x2+y2=2(y≥0)上，t(t，■)在双曲线上，观察图像知：半圆、双曲线分别与直线y=x交于a（1，1)，b（3，3）两点，|ab|即为半圆上的点与双曲线上的点之间的最小距离，其值为2■。

例9：求函数s=■＋■的最大值。

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分析：以上题目用代数来算难以奏效，可将两根式通过二次换元，使原函数变形为在另一直角坐标系中的直线方程，把求函数最值化为解析几何中求直线的截距的最值，从而使问题迎刃而解。

解：设■＝x，■＝y，则x2+y2=2x+y=s，x≥0，y≥0，最值问题转化为过圆弧上一点，斜率为－1的直线在x轴上的截距。显然，直线与圆相切时，smax=2，当直线过点(2，0)时，smax=2。

总之，许多函数最值问题，可转化为求直线斜率的最值问题，直线在两坐标上截距的最值问题，或两点间距离问题。