极限的定义

limC f (x) C lim f (x)
推论
2．lim xx0
xn
x0n
A
13
3 极限四则运算例题
x 1 (1 ) lim
x 2 x 2 1
x 1 ( 2 ) lim
x1 x 2 1 x2 1
( 3 ) lim x 2 x 2 x 1
( 4 ) lim ( x 2 1 x 2 1 )
x1
2
x1
cos
π
x1
2
x1
sin(
π
π x)
2
22
π
limsin π x lim
(1 x) 2
2 2
x1
2
x1
sin
π (1 x)
π
π
2
limln(1x)limln(1x)1 x limlne1
x0 x
x0
x0
A
19
1.3.1 无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
2.关系定理
极限的变量
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: limxsin 1
x0
x
A
20
3.无穷小的比较
定义设(x),(x)都是
同一变化过程中的无穷小, 且0
如果
则:是的
0 0()
lim
K
0()
1 ~
x
A
14
四.两个重要极限 two important limits
1．lim sin x 1 x0 x
2．lim (1 1 ) x e
x
x
附：求极限的基本方法
（1）直接代入法
（2）恒等变换法(含倒数、根式变换)
*（3）公式法——两A个重要极限
15
2.重要极限 lim(11)x e
x x
1 a n 2 n 1
数列——定义在自然数集合的函数
an
A
f
(n)
整标函数 3
yx2(x[0,1])
A
4
Sn
0
1 n
( 1)2 n
1 n
( 2)2 n
1 n
...(n1)2 n
1 n
12 22 32 ...(n1)2 (n1)n(2n1)
n3
6n3
1 3
1 (6n2
1) 2n
1 3
若 lim f ( x) A , lim g( x) B则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B 和 差
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B 积
(3) 当 B 0时 , lim f ( x ) A 商
2 推论
g(x) B
推论 1．若lim f (x)存在 , 则
答：(1) x2 比 5x 高阶，A(2) x 与 tgx 等阶 22
1.3.3．无穷大量及其与无穷小的关系 the relation between infinity and infinitesimal 1．无穷大量
lim f ( x ) 1
x
A
7
2. x x0时函数的极限
定义 设函数f (x)在x0点附近有定义(在x0点
可以无定义)当x x0(以任意方式趋近),
若f (x) a,则称a为f (x) 在x x0时的极限,
记作
lim
xx0
f (x)
A
或
f (x) A(当x x0)
实 例
f(x)x2
当x 左 右 侧 侧 2, 都 有f(x) 4
6 .常 数 C 的 极 限 值 是 自 身 .
A
11
三．极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.～定理 2.～推论 3.～例题 □定理 若两个函数的极限存在，
则它们的和、差、积、商的极限等于 极限的和、差、积、商（分母≠0）
A
12
1 极限的四则运算定理
A
10
极限补充
1 .极 限 是 一 个 具 体 数 值
2. 并 不 是 具 体 的 数 ,而 是 和 变 量
结 合 起 来 ,表 示 其 变 化 趋 势 的 一 个 符 号 .
3 . 若 lim f ( x )存 在 ,其 必 唯 一 x x0
4.x
x
的
0
方
式
任
意
的
5 . x x 0时 的 极 限 值 与 x 0无 关
□幂指函数 □定义域
（－∞,－1） （0,+∞）
y (1 1)x x
1
推论lim (1x)x eA
16
x0
1． 求 证l i msi nx 1 x0 x
证 明: S P OA 1 2PA O A 1 2tg x
S扇12OA A B 12x
tg xx,即 sixn x sixn co xs co xs x
注：左、右极限都存在并相等
A
8
求极限 lim x 2
x 2
x (左侧) →x0
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
x (右侧) →x0
x
y
1.9
3.61
2.1
4.41
1.99 3.96 2.01 4.04
1.999 3.996 2.001 4.004
···
···
A ···
···
9
2
4
2
4
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即 无限地）接近某个数值,函数值也会随之 足够接近某个数值,那么该数值就是一个 极限(数值).
n
A
5
二．函数的极限
limit of function
1．x →∞时函数的极限 2．x →x0时函数的极限 3．函数极限的一般定义
A
6
1．x→∞时函数的极限
定义当自变量的绝对值 x 无限 增大时,如果函数f(x)a(常数),则 称a 为f(x)在x时的极限,记作
[例]
limf(x)a
x
1
(1) f ( x ) 1 x 2
A
1
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一．极限引入
二．函数的极限
•
lim
x
f (x)
•
lim
x x0
f
(x)
三．极限的四则运算
四．两个重要极限
五．无穷小及其性质
六．无穷大量及与无穷小关系
A
2
1. 极限的引入（举例）
【表述】一尺之棰，日取其半，万世不绝。
【数列】 【通项】
1, 1 , 1 , 1 , 248
故有1sinx1coxs
x
A
17
(续) 1sinx1coxs x
当x0, limcosx1 x0
即 1cosx为无穷小
1 sin x 也是无穷小 x
即 lim sin x 1 x0 x
A
18
π
lim(1 x) tg x
x1
2
π
(1 x)
π
(1 x)
limsin x lim
limsin x lim
A
高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小
21
无穷小比较例题
(1)当 x→0 时，x2 与 5x 哪一个是高阶无穷小?
(2)当 x→0 时，x 与 tg x 哪一个是高阶无穷小?
解:(1)列式 limx2 x05x
其 (中 x ) 5 x,(x )x 2
(2)列式limx x0 tgx
其 (x 中 ) tx g ,(x ) x