高考二次函数

二次函数

知识梳理

知识点1 二次函数的图象和性质

1.二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.

(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ ___.

②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)_____ __.

③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_______________ _.

点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.

①已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.

2.二次函数的图象和性质

图象函数性质

a>0 定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域

a>0 a<0

y∈[

4ac－b2

4a

，＋∞)y∈(－∞，

4ac－b2

4a

]

a<0

奇偶性

b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性

x∈(－∞，－

b

2a

]时递减，

x∈[－

b

2a

，＋∞)时递增

x∈(－∞，－

b

2a

]

时递增，

x∈[－

b

2a

，＋∞)

时递减

图象特点①对称轴：x＝－

b

2a

；

3.二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2

－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点

M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝

Δ

|a |

. 知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根

⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;

当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔2

0(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;

当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 2

0(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是

(,)(,)αβ-∞+∞。

知识点3 一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件

一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：

令()f x =2ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论）

(1) x 1<α, x 2<α ,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪

-<⎨⎪>⎩; (2) x 1>α, x 2>α,则0

/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪->⎨⎪>⎩

(3) α

⎧<-<>>≥∆β

αβα)2/(0

)(0)(0

a b f f (4) x 1<α, x 2>β (α<β),则()0

()0f f αβ<⎧⎨<⎩

(5）若f(x)=0在区间( α ,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f

点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：

①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．

在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.

知识点4 二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值

二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论：

（1）若对称轴2b

x a

=-

在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）

（2）若对称轴2b

x a

=-

在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；

（3）若对称轴2b x a =-

在区间内，则()2b

f a

-是函数的最小值（0a >）或最大值（0a <），再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大（小）值。

点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。

（2）二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值的讨论的基点是对称轴

a

b

x 2-

=与区间[]q p ,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a 的符号对抛物线开口及结论的影响。

题型一 求二次函数的解析式

例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.

变式训练1：

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。