空间点线面位置关系(课堂PPT)
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16
3.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言：P I I l 且 P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个
公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
15
练习
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
2.1 空间点、线、平面之间的位置关系
1
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.
(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直
线a，称平面α与平面β相交.记作： I a 公理3
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记
作： //或 I
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
5
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D……
直线(点的集合):小写英文字母 a,b或,c者L两个大写英文字母
平面(点的集合):用希腊字母表示 ,；,L
用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号
元素与集合关系： ,
(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线
是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
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4.点线共面问题
例 1 已 知 A , B , C l , D l , 求 证 : 直 线 A D , B D , C D 共 面 .
D
证 明 :Q D l . l 与 D 确 定 平 面 . A l B C
2
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
ß
画平面水平放置时，
水平放置
常把平行四边形的 锐角通常画成45°， 且横边长等于邻边 长的2倍.
垂直放置
为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮
挡的部分用虚线画出来.
C
A
B
自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.
13
3.平面的基本性质
(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件；
11
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
12
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代；
确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.
14
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
公理2
β
a
α
α
β
β
α
9
小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a I
bIA 或 a //
β
a
α
α
β
β
α
I a
//或 I平面α与平面β重合
1练0 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
3
练习
画出两个竖直放置的相交平面.
4
1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
D
C
A
B
表示方法：
①把希腊字母 , , 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 .
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD.
集合与集合关系：,;I
6
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上，记作 A a
点B不在直线a上，记作 B a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上，记作 A
点B不在平面α上，记作 B
a A
B
B
α
A
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2.点、直线、平面的位置Βιβλιοθήκη Baidu系
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
或称平面α通过直线a.记为： a
公理1
②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.
记为： aIA
③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.
记为：a//或 aI
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a
a
a
a
A
α
α
α
8
2.点、直线、平面的位置关系
又QA,B,Cl,l A,B,C.
又 Q D B D ,C D ,A D ,即 A D ,B D ,C D 共 面 .
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5.证明三点共线、三线共点的问题
例2 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、
R.求证：P、Q、R共线.
A
要证明各点共线，只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.
3.平面的基本性质
(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：
P
l
②符号语言：P I I l 且 P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个
公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
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练习
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
2.1 空间点、线、平面之间的位置关系
1
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是 最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性.
平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）； 平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.
(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类
①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直
线a，称平面α与平面β相交.记作： I a 公理3
②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记
作： //或 I
注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合. （当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)
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2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示
点(元素):大写字母A、B、C、D……
直线(点的集合):小写英文字母 a,b或,c者L两个大写英文字母
平面(点的集合):用希腊字母表示 ,；,L
用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号
元素与集合关系： ,
(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)
ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线
是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.
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4.点线共面问题
例 1 已 知 A , B , C l , D l , 求 证 : 直 线 A D , B D , C D 共 面 .
D
证 明 :Q D l . l 与 D 确 定 平 面 . A l B C
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1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
画法 ——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，
有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
ß
画平面水平放置时，
水平放置
常把平行四边形的 锐角通常画成45°， 且横边长等于邻边 长的2倍.
垂直放置
为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮
挡的部分用虚线画出来.
C
A
B
自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.
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3.平面的基本性质
(3)公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言： A B C
②符号语言：
A , B , C 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 A , B , C
③定义的说明：
过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在 一条直线上的三点”这一条件；
11
3.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，
则这条直线在此平面内.
①图形语言：
Al
B
②符号语言：A l,B l且 A ,B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
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3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只 有一个”替代；
确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.
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3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
公理2
β
a
α
α
β
β
α
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小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
Aa
Ba
B
α
A
A
B
b
a
aA
α
α
a a I
bIA 或 a //
β
a
α
α
β
β
α
I a
//或 I平面α与平面β重合
1练0 习
3.平面的基本性质
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）
3
练习
画出两个竖直放置的相交平面.
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1.平面的基本知识
(3)平面的画法及表示
D
C
A
B
表示方法：
①把希腊字母 , , 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 如平面 ，平面 .
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示， 如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表 示，如平面AC或者平面BD.
集合与集合关系：,;I
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2.点、直线、平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上，记作 A a
点B不在直线a上，记作 B a
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上，记作 A
点B不在平面α上，记作 B
a A
B
B
α
A
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2.点、直线、平面的位置Βιβλιοθήκη Baidu系
(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类
①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，
或称平面α通过直线a.记为： a
公理1
②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.
记为： aIA
③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.
记为：a//或 aI
注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作 a
a
a
a
A
α
α
α
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2.点、直线、平面的位置关系
又QA,B,Cl,l A,B,C.
又 Q D B D ,C D ,A D ,即 A D ,B D ,C D 共 面 .
18
5.证明三点共线、三线共点的问题
例2 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、
R.求证：P、Q、R共线.
A
要证明各点共线，只 要证明他们是两个相 交平面的公共点.