可分离变量的微分方程

例如 dy 2xydx
1 dy 2xdx
y
练习：
判断下列方程是否为可分离变量的微分方程
(1) dy 3x2 y
A
dx
(2) y exy
B
(3) yy y x 0
B
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(4) y ex2 y
A
A .是
B .否
二、可分离变量的微分方程的解法
例1
求微分方程 dy exy 的通解.
dx
x0
解
把方程分离变量，得到
dy y2

cos
xdx
两端积分

dy y2


cos
xdx
得
1 sin x C
y
将 y 1代入上式可得 C = －1. x0
所求的特解为 y 1 . 1 sin x
练习：
方程 y x 的通解是否为 y2 x2 C
A
y
A .是
高等数学之——
8.2 可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程
一.可分离变量的微分方程的概念 二.可分离变量的微分方程的解法
一、可分离变量的微分方程的概念
定义 若一阶微分方程可以变形为 g( y)dy f (x)dx
称为可分离变量的微分方程.其中 f (x), g( y)为连续函数.
dx
解 此方程是可分离变量的，分离变量后得
eydy exdx
两端同时积分，得
即 则通解为
eydy exdx
ey ex C
y ln(ex C ).
（1）分离变量 （2）两边积分 （3）得通解
可分离变量的微分方程解法： (分离变量法)
（1）分离变量:
g( y)dy f (x)dx
（2）两边积分：
g(y)dy f (x)dx
（3）得通解:
G( y) F(x) C
其中函数 G( y)和 F (x)分别为g( y) 和 f (x)的原函数.
（4）若给出了初始条件，可确定 C 的值，求出特解.
例2 求微分方程 dy y 2 cosx 在满足初始条件 y 1的特解．
B .否
三、小结
1.可分离变量的方程 : g( y)dy f (x)dx
2.解法: (分离变量法)
(1)分离变量; (2)两端积分;
(3)得到通解.