快速求平面的法向量

快速求平面的法向量

用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。

结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量

n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.

如果用二阶行列式表示，则

n ＝(

112

2

y z y z ，－

112

2

x z x z ，

112

2

x y x y ) ，这更便

于记忆和计算.

结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处

略去），但你可以验证 n 一定满足

m a m b ⎧•=⎪⎨

•=⎪⎩⇔111222

0x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.

怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量

解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则0

n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意：

① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.

② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.

草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，

b ＝(4，5，6)

交叉相乘的差就是x ＝2×求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，6)

交叉相乘的差的相反数就是求z 时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，6)

交叉相乘的差就是z ＝1×∴n ＝(－3，6