第五章控制系统的稳定性教材
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或系统传函 X0 (s) 的极点全部位于[s]复平面的左半部。
Xi (s)
若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[s]平面左半 部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振 荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。
9/88
三、判别稳定性的方法
1. 直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解） 直观，对高阶系统是困难的 2. 通过系数和特征根的关系（劳斯判据）
H (s)
X 0 (s)
设分母=0，可得出系统的特征方程：
1 G(s) H(s) 0
6/88
(一) 稳定条件：
系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根
落在[s]复平面的左半部分，系统即是稳定的。
(二) 分析线性稳定的条件：
设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲
函数 (t) ，这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统
稳定的定义： 若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰 动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。
c b
b 摆M
a
3/88
控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部 的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载； 雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。如果系统不稳定，就 会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随 时间的推移而发散。
Si S j )S n２
i 1
i j
i1, j2
n
(1)n Si i 1
12/88
sn an1 sn1 a1 s a0
an
an an
n
n
S n ( Si )S n1 (
Si S j )S n２
i 1
i j
i1, j2
在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的情形。
若线性系统的单位脉冲响应函数 x0(t) 随时间的推移趋
于0，即：lim t
x0
(t
)
0
，则系统稳定；若
lim
t
x0
(t
)
，则系
统不稳定。
7/88
若 x0 (t) C 或等幅振荡
临界稳定状态。
但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持
14/88
Routh阵列表
Ｓn an a n-2 Ｓn1 a n1 a n-3 Ｓn2 A1 A2 Ｓn3 B1 B2
an-4 an-6 an -5 an -7 A3 A4 B3 B4
Ｓ2 D1 D2
Ｓ1 E1
Ｓ0 F1
15/88
系数Ai、Bi的计算，一进行直到其余Ai、Bi …等于0为止。
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本章内容
一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的 明 基本出发点 确
二、系统稳定的充分必要条件
重点 掌握
三、代数判据（Routh、Hurwitz判据） 四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据 五、相对稳定性的概念
六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法
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5-1. 系统稳定性的基础概念
第五章 系统的稳定性
设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术 要求是系统必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首 要条件，只有工作稳定才能进一步讨论其他性能指标。
分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多 种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定 性的方法。
n
(1)n Si i 1
an1
an
(S1
S2
n
Sn ) Si
i 1Baidu Nhomakorabea
an2 an
S1S2
S1S3
n
Sn1Sn
SiS j
i j
i1, j2
an3 an
(S1S2S3
S1S2S4
n
Sn2S S n1 n )
11/88
一、劳斯判据
1、必要条件：设系统的特征方程为：
ansn an1sn1 a1s a0 0
sn an1 sn1 an
a1 an
s
a0 an
(S
S1)(S
S2)
(S Sn) 0
n
n
S n ( Si )S n1 (
L
(t) L[ (t)] 1
不稳定。
X 0 (s)
C1 S S1
S
C2 S2
L1
n
x0 (t) CieSit
Cn
n
Ci
S Sn i1 S Si
i 1
可知，要满足
lim
t
x0
(t)
0
，只有当特征根全部为负实部
8/88
系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具 有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系 统必不稳定。
为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有 工程实际意义。
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5-2. Routh（劳斯）稳定判据 【Hurwitz（赫尔维兹）】
线性定常系统稳定 全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点 判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较 困难（n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨 论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。 [1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz 判据]
因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳 定的措施，是自动控制的基本任务。
4/88
注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，
而与输入无关。 2.稳定性也与外加扰动无关。
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二、稳定条件
一般反馈系统的传函为：
G(s)
Xi (s) E(s) G(s)
GB (s) 1 G(s) H (s)
SiS jSk
i jk
i1, j2,k 3
a0
an
(1)n (S1S2
n
Sn ) (1)n Si
i 1
13/88
由上式可知，要使全部特征根 S1S2 Sn 均具有负实部， 必须满足如下2个条件： (1) 特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)不等于0. (2)特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)符号都相同，一般ai>0 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0
Xi (s)
若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[s]平面左半 部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振 荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。
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三、判别稳定性的方法
1. 直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解） 直观，对高阶系统是困难的 2. 通过系数和特征根的关系（劳斯判据）
H (s)
X 0 (s)
设分母=0，可得出系统的特征方程：
1 G(s) H(s) 0
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(一) 稳定条件：
系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根
落在[s]复平面的左半部分，系统即是稳定的。
(二) 分析线性稳定的条件：
设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲
函数 (t) ，这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统
稳定的定义： 若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰 动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。
c b
b 摆M
a
3/88
控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部 的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载； 雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。如果系统不稳定，就 会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随 时间的推移而发散。
Si S j )S n２
i 1
i j
i1, j2
n
(1)n Si i 1
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sn an1 sn1 a1 s a0
an
an an
n
n
S n ( Si )S n1 (
Si S j )S n２
i 1
i j
i1, j2
在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的情形。
若线性系统的单位脉冲响应函数 x0(t) 随时间的推移趋
于0，即：lim t
x0
(t
)
0
，则系统稳定；若
lim
t
x0
(t
)
，则系
统不稳定。
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若 x0 (t) C 或等幅振荡
临界稳定状态。
但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持
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Routh阵列表
Ｓn an a n-2 Ｓn1 a n1 a n-3 Ｓn2 A1 A2 Ｓn3 B1 B2
an-4 an-6 an -5 an -7 A3 A4 B3 B4
Ｓ2 D1 D2
Ｓ1 E1
Ｓ0 F1
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系数Ai、Bi的计算，一进行直到其余Ai、Bi …等于0为止。
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本章内容
一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的 明 基本出发点 确
二、系统稳定的充分必要条件
重点 掌握
三、代数判据（Routh、Hurwitz判据） 四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据 五、相对稳定性的概念
六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法
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5-1. 系统稳定性的基础概念
第五章 系统的稳定性
设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术 要求是系统必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首 要条件，只有工作稳定才能进一步讨论其他性能指标。
分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。 控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多 种方法。 本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定 性的方法。
n
(1)n Si i 1
an1
an
(S1
S2
n
Sn ) Si
i 1Baidu Nhomakorabea
an2 an
S1S2
S1S3
n
Sn1Sn
SiS j
i j
i1, j2
an3 an
(S1S2S3
S1S2S4
n
Sn2S S n1 n )
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一、劳斯判据
1、必要条件：设系统的特征方程为：
ansn an1sn1 a1s a0 0
sn an1 sn1 an
a1 an
s
a0 an
(S
S1)(S
S2)
(S Sn) 0
n
n
S n ( Si )S n1 (
L
(t) L[ (t)] 1
不稳定。
X 0 (s)
C1 S S1
S
C2 S2
L1
n
x0 (t) CieSit
Cn
n
Ci
S Sn i1 S Si
i 1
可知，要满足
lim
t
x0
(t)
0
，只有当特征根全部为负实部
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系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具 有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系 统必不稳定。
为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有 工程实际意义。
10/88
5-2. Routh（劳斯）稳定判据 【Hurwitz（赫尔维兹）】
线性定常系统稳定 全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点 判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较 困难（n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨 论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。 [1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz 判据]
因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳 定的措施，是自动控制的基本任务。
4/88
注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，
而与输入无关。 2.稳定性也与外加扰动无关。
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二、稳定条件
一般反馈系统的传函为：
G(s)
Xi (s) E(s) G(s)
GB (s) 1 G(s) H (s)
SiS jSk
i jk
i1, j2,k 3
a0
an
(1)n (S1S2
n
Sn ) (1)n Si
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由上式可知，要使全部特征根 S1S2 Sn 均具有负实部， 必须满足如下2个条件： (1) 特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)不等于0. (2)特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)符号都相同，一般ai>0 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0