数形结合思想例题分析

数 、 形

构造几何图形 结

彳解决代数合 思 刁三角问题： 想 例

题 分

析

1、证明恒等式：

2 2

x y

2

z , z

例1

已知

x 、 y 、z 、 r 均为正数，且 Vx 2

2 2

r x

求证：rz xy. （ 、

\

\x

2 2

2

分 析 : 由

r

A B

x y

z ,

自然联想到勾股定

理 。 由

z

z Jx 2

2

r 2

x .可以联想到

射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图） 。对照图形，由直角三角形面积的两

种算法，结论的正确性一目了然。

证明：（略）

小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆, 然后利用图形的几何性

质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：

例2 已知：O v a v 1, O v

b v 1. 求证

证明：如图，作边长为 1的正方形ABCD 在AB 上取点E ,使AE=

a ；在AD 上取点G,使AG=

b , 过E 、G 分

别作 EF//AD 交CD 于F ;作GH//AB 交BC 于H 。设EF 与GH 交于点 O,连接AO BO CO DO AC BD.

由题设及作图知厶 AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形，因此

且 AC BD .2

由于 OA OC AC,OB OD BD.所以：

.1

当且仅当

a b 2时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平 面几何的定理、公

理去建立不等式使结论获证。

3 、求参数的值或参数的取值范围：

2

例3若方程

ax 2x 1 0 （ a > o ）的两根满足：x 1 v 1，1v x 2 < 3,求a 的取值 范围。

2

解析：画出与方程对应的二次函数 y ax 2x 1 （ a >0）的草图： 由图可知：当x =1时，y v 0；当x =3

时，

y >0.

即 a 1

2

2 11 v 0 ； a 32

2 3 1 > 0.

5

解得：9 V a“

例4若关于x的不等式0 x2mx 2 1的解集仅有一个元素, 求m的值。

解: 如图：在同一坐标系内，作出

的图象。题设条件等价于抛物线y

小结：对于含参方程（不等式）x2

1之间的带状区域仅有一个交点,

这个交点只能

mx 2仅有一组解。

2.

1 与y x2

mx 2在直线

mx 2

且抛物线开口向上。由图形的直观直线y 1上，故方程组

，可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。

4 、求最值问题：

例5已知a、b均为正数，且a b 2■求1的最小

值。

解：如图，作线段AB=2在AB上截取AE=a，

EB=b，过A作AC AB,且AC=2,过B作BD AB,且BD=1o由勾股定

理：CE= a2 4 ,BD= 1，原题即求CE+ED的最小值。

又如图，延长CA至G,使AG=AC连接GE,由三角形两边之和大于第三边，则G

E、D三点共线时，GE+ED=D＜短。作出图形，延长DB至F,使BF//AG 且BF=AQ连接GF.

则在Rt △ DGF中, DF=1+2=3 GF=AB=2 2

；

；

2

CE+DE的最小值是' 13

1的最小值是

即

小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。二、

用代数与三角方法解决几何问题：

例6 如图，在△ABC中，AB> AC, CF、BE分别是AB AC边上的高。试证：AB CF AC BE

证法一：（三角法）因为0 sin A 1,

证法二：（代数法）由 AB> Ad CF , AB> BE

1 1 及 S MBC

AB CF AC BE 2 2

AB BE > AC CF AB CF > AC BE

当 A 90°时，AB CF =AC BE .

分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。

例7 如图，在正△ ABC 的三边 AB BC CA 上分别有点 D E 、F.若DE BC EF AC, FD AB 同时成 D 、E 、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列 ，以求其

解。

解：设 AB=1，AD=

X

且 DE BC EF AC, FD AB

故

AF 2x , CF 1 2x , CD 2CF 2 BE 1 CE

4x 1 ,

BD 2BE 8x 2

而

AD BD

1 ,即 x (8x 2)

1

1

1 1

因为△ ABC 为正三角形, 即点D 位于AB 边上3

分点处. 4x

解得：X

3

小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度 小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。而 方法， BD CE AF 27.

求: BD BF

的长.

解：设 BD

x ，CE y

，AF z ，则

DC 17 x ，AE

18 y ，FB

1

9

PC.

常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。 例8 如图，△ ABC 三边的长分别是 BC=17, CA=18 向厶ABC 的三边分别作垂线 PD PE 、PF （ D E 、 F

P

y

或角度的大 求那些量的

内的

AB=19.过厶 ABC F 为垂足）.若

连接PA PB

在 Rt △ PBD 和 Rt △ PFB 中,

综上：

AB CF AC BE.

立，求点D 在AB 上的位置. 分析：先假设符合条件的点 出含有待求量的等式（方程）

小结：以上两种证明方法,