闭环频率特性

对应的闭环频率特性为：
GK ( jw ) ( jw ) M (w )e j (w ) 1 GK ( jw )
上式描述了开环频率特性和闭环频率特性之间的关系。如 果已知 GK ( jw )曲线上的一点，就可确定闭环频率特性曲线上的 一点。
一般系统的闭环频率特性如图所示
w 图中，M (0)为频率特性的零频幅值； b 为频率特性的带宽 频率，它是系统的幅频值为零频幅值的0.707倍时的频率， 0 w wb 通常称为系统的频带宽度；M r为频率特性的谐振峰 值； r为频率特性的谐振频率。 w
L(w )
v0
20db/dec(v 1)
40db/dec(v 2)
0
K
K
w
系统的稳态误差 ess与 K, v 有关。因此，根据开环对数幅频 特性的低频段可确定系统的稳态误差。
低频段的斜率越小，对应系统开环传递函数中积分环节的 数目越多，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动 态响应的的跟踪精度越高。而且，在阶跃信号输入下使 ess 0 的条件是低频段必须具有负斜率。
w w 则系统的相频特性为 (w ) 180 arctan arctan w1 w2 wc wc 相角裕度为 180 (wc ) arctan arctan w1 w2
可见，中频段越宽，即 w2 比 w1 大的越多，则系统的相角 裕度 越大，即系统的平稳性越好。
( s) KG0 ( s) s v KG0 ( s)
当 v 0 时，闭环幅频特性的零频值为
KG0 ( jw ) K M (0) lim 1 w 0 ( jw ) v KG ( jw ) 1 K 0
当 v 1 时，闭环幅频特性的零频值为
M (0) lim KG0 ( jw ) 1 v w 0 ( jw ) KG ( jw ) 0
wc 5
29.2
求增益裕度, 则须先求出wg
90 arctanw g arctan
wg
5
180 w g 5
当K=10时
Lg 20 lg A(w g ) 20 lg 10
wg 1 wg
2
25 w g
2
9.54
dB
当K=100时
Lg 20 lg A(w g ) 20 lg 100
L(w)/dB 40 －20dB/dec 20
K1＝10
K1＝100
20lg K
0
wc
0.1 1
wc
5
10
w
－40dB/dec －60dB/dec
由图可知:
wc 40lg 20lg K 20lg 2 w1
得剪切频率 wc 2 1.414 。 相角裕度为
180 (wc ) 180 90 arctan wc arctan
中频段斜率更陡，则闭环系统将难以稳定。因此为使系统 稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望截止频率 wc位于开环对 数幅频特性斜率为-20的线段上，且中频段要有足够的宽度； 或位于开环对数幅频特性斜率为-40的线段上，但中频段较窄。 在上述情况下，尽量增大截止频率 ，提高动态响应的快速性。 wc
高频段
本章小结
（1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出 与输入之比和频率之间的函数关系。频率特性是系统的一种数 学模型，它既反映出系统的静态性能，又反映出系统的动态性 能。 （2）频率特性是传递函数的一种特殊形式。将系统传递函数 中的复数 s换成纯虚数 jw ，即可得出系统的频率特性。 （3）频率特性法是一种图解分析法，用频率法研究和分析控 制系统时，可免去许多复杂而困难的数学运算。对于难以用解 析方法求得频率特性的曲线的系统，可以改用试验方法测得其 频率特性，这是频率法的突出优点之一。 （4）频率特性图因其采用的坐标系不同而分为极坐标图、波 特图、尼科尔斯图等几种形式。各种形式之间是相互联系的， 而每种形式却有其特定的适用场合。
2
又因为 wr wn 1 2 ，所以有 ts
4
wr
1 2 2
t 由可知图，swb 随 M r 的增加而单调增加。当 M r 固定不变， 则调整时间 t s 与带宽频率 wb 成反比。
2、高阶系统
对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时间指标之间 的确切关系。但如果高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极 点，可针对二阶系统建立的关系近似采用。 通过大量的系统研究，归纳出以下两个近似的数学关系 式，即
wn 2 wn 2 ( jw ) 2 2 ( jw ) 2wn ( jw ) wn (wn 2 w 2 ) j 2wnw
（1）M 与 % 的关系。
典型二阶系统的闭环幅频特性为
M (w )
令
wn 2
(wn 2 w 2 ) 2 (2wnw ) 2
dM (w ) 0 dw
高频段指开环对数幅频特性在中频段后的频段。由于这部 分特性是由系统中一些时间常数很小的环节决定的，因此高频 段的形状主要影响时域响应的起始段。因为高频段远离截止频 率 wc ，所以对系统的动态特性影响不大。
从系统抗干扰能力来看，高频段开环幅值一般较低，即 L(w) 20lg GK ( jw) 0，则 GK ( jw) 1 。故对单位反馈系统有
Mr Mm M (0)
系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力。频带宽 度越宽，暂态响应的速度越快，调节时间也就越短。但是，频 带宽度越宽，系统抗高频干扰的能力越低。因此，在设计系统 时，对于频带宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频 干扰的要求。 设单位反馈系统的开环传递函数为
KG0 ( s) sv 式中： 0 ( s) 不含有积分和比例环节，且 lim0 G0 ( s) 1 。则系统 G s 的闭环传递函数为 GK ( s )
( jw )
GK ( jw ) 1 GK ( jw )
GK ( jw )
显然，在高频时闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。因 此，开环对数幅频特性 L(w ) 在高频段的幅值，直接反映了系统 对高频干扰信号的抑制能力。高频部分的幅值越低，系统的抗 干扰能力越强。 由以上分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态要求， 对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高 度和斜率；中频段的斜率最好为-20，且具有足够的宽度， c 应 w 尽量大；高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干 扰。
wc
5
19.5
当K从10变到100时, 20lgK=20lg20＝26dB, 如图中虚线所示。
wc 40 lg 20 lg K 20 lg 20 w1
所以K=100时对应的剪切频率为 wc 20 4.472。
相角裕度为
180 (wc ) 180 90 arctan wc arctan
（2）中频段斜率为-40，且占据的频率区域较宽
w w 则系统的相频特性为 (w ) 90 arctan arctan w1 w2 wc wc 相角裕度为 180 (wc ) 90 arctan arctan w1 w2
可见，中频段越宽，即 w2 比 w1 大的越多，则系统的相角 裕度 越接近于0°，系统将处于临界稳定状态，动态响应持 续振荡。
（5）奈奎斯特稳定判据是用频率法分析和设计控制系统的基 础。利用奈奎斯特稳定判据，可用开环频率特性判别闭环系统 的稳定性。同时，可用相角裕度和幅值裕度来反映系统的相对 稳定性。
（6）开环对数频率特性曲线（Bode图）是控制工程设计的重 要工具。开环对数幅频特性 L(w )低频段的斜率表征了系统的型 L 别，其高度则表征了系统开环放大倍数的大小； (w )中频段的 斜率、宽度以及截止频率 wc 则表征着系统的动态性能；而高频 段表征了系统的抗高频干扰能力。利用三频段概念可以分析系 统时域响应的动态和稳态性能，并可分析系统参数对系统性能 的影响。 （7）对于最小相位系统，幅频和相频特性之间存在唯一的对 应关系，即根据对数幅频特性可以唯一地确定相频特性和传递 函数，而对于非最小相位系统则不然。
开环对数频率特性与时域指标
开环对数幅频特性“三频段”概念
M (w )
Mr
L(w )
M (0)
0.707M (0)
w1
0
wc
中频
w2
w1
低
w
wr
中频
wb w2
高
w
低
高
低频段
低频段通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的 区段，低频段的斜率由开环传递函数中积分环节的数目v 决定， K 而高度则由系统的开环放大倍数 来决定。
0型系统与Ι型及Ι型以上系统的零频值的差异，反映了它们 跟随阶跃输入时稳态误差的不同，前者有稳态误差的存在，而 后者则没有稳态误差产生。
二、闭环频域指标与时域指标的关系 1、二阶系统 典型二阶系统的闭环传递函数为
wn 2 ( s ) 2 s 2wn s wn 2
其相应的闭环Байду номын сангаас率特性为
% 0.16 0.4(Mr 1)100%
高阶系统的 % 随着 M r 的增大而增大。
(1 Mr 1.8)
ts
式中
k
wc
(1 Mr 1.8)
k 2 1.5(Mr 1) 2.5(Mr 1)2
调节时间 t s 随着 M r 增大而增大，且随 wc 增大而减小。
例1、单位反馈系统开环传递函数为
K G( s) s( s 1)(s 5)
分别求取K=10及K =100时的相角裕度和增益裕度。 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K =10时,
10 G(s) 5s(1 s)(1 s / 5)
转折频率ω1=1, ω2=5。20lgK=20lg2=6dB。画出对数幅频特性 曲线, 如图所示。
M （2） 、wr、wb 与 t s 的关系。
在带宽频率 wb 处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为
M (wb )
wn 2
(wn wb ) (2wnwb )
2 2 2 2
0.707
解得
wb wn 1 2 2 2 4 2 4 4 wbts
4

1 2 2 2 4 2 4 4
(0 0.707)
其谐振频率为
wr wn 1 2 2
因为当 w 0 时，幅频值 M (0) 1 其幅频特性峰值即谐振峰值为
Mr
1 2 1
2
(0 0.707)
由图看出， r 越小， %越小，即系统的阻尼性能越好。如 M 果谐振峰值较高，系统动态过程超调大，收敛慢，平稳性及快 速性都差。 当 0.707 时，幅频特性单调 衰减，不存在谐振峰值。
中频段
中频段是指开环对数幅频特性曲线在截止频率 wc 附近（零 分贝附近）的区段。中频段集中反映了闭环系统动态响应的平 稳性和快速性。 反映中频段形状的三个参数为截止频率 wc ，中频段的斜 率和中频段的宽度。下面对开环对数幅频特性曲线 L(w )中频 段的斜率和宽度分两种情况进行分析。
（1）中频段斜率为-20，且占据的频率区域较宽
wg 1 wg
2
25 w g
2
10.5
dB
第七节 闭环频率特性
一、闭环频率特性及其特征量 由于系统的开环和闭环频率特性之间有着确定的关系，因 而可以通过开环频率特性求取系统闭环频率特性。对于单位反 馈系统，其闭环传递函数为
( s) GK ( s ) 1 GK ( s )