2017届高考数学一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆Word版含答案

2017届高三第一轮复习专题训练之阿波罗尼斯圆

引例：1.已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为

1

2

，那么点M 的坐标应满足什么关系？ (人教A 版《必修2》第124页习题4.1B 组第3题)

2.已知点()()08,02，，

Q P ，点M 与点P 的距离是它与点Q 的距离的5

1

，用《几何画板》探究点的轨迹，并给出轨迹的方程. (人教A 版《必修2》第140页例题)

背景展示: 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.

例1.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.

证明：如图，设两定点为A 、B ，|AB |=a ，动点为P ，距离的比值为常数()1λλ≠以AB 为x 轴、A 为坐标原点建立直角坐标系，则B (a ，0)，设P (x ，y )，由

|PA|

|PB |

λ=得： ()

2

22

2

x y x a y

λ

-++=()()2222222112x y a x a λλλλ+⇒--+=

2

22222

11a a x y λλλλ+⎛⎫⎛⎫⇒+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭ 例2.（2008年高考数学江苏卷）若BC AC AB 22==，，则ABC S ∆的最大值

为 ．

解:显然这是一例阿波罗圆，建立如图的直角坐标系，得：()2

2

38x y -+=.设圆心为

M

，显然当

CM⊥x

轴时，

△ABC

面积最大,此时

22,CM =()max 1

222222

ABC S ∆∴=⋅⋅=.

评注：既然△ABC 存在，说明其轨迹不包括与

x

轴的两个交点

P,Q ，现在问：

P,Q 这两点究竟有什么性质？由于

2PA CA

PB CB

==，∴CP 为△ACB 的内角平分线；同理，CQ 为△ACB 的外角平分线.

这就是说，P,Q 分别是线段AB 的内分点和外分点，而PQ 正是阿氏圆的直径.于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此，题2又有如下的轴上简洁解法:

∵动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B （1，0）距离之比为

2, 则有

|1|2|1|x x +=-()22221221610322x x x x x x x ⇒++=-+⇒-+=⇒=±,

∴得22

31-=x 为内分点，2322x =+为外分点．圆半径()211

222

r x x =

-=，即为三角形高的最大值，即△ABC 高的最大值是22.故△ABC 的面积的最大值是22.

例3.（2006年高考数学四川卷）已知两个定点()()01,02，，

B A -.如果动点P 满足PB PA 2=，则点的轨迹所包围的面积等于 （ ）A. π B. π4 C. π8 D. π9

解:显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决.设O 为坐标原点，注意到2OA OB =,可知原点O 为线段AB 的内分点．设AB 的外分点为(),0C x ，由

2CA CB =2

21

x x +⇒=-4x ⇒=，即有C

（4，0）.于是圆直径为24OC r ==，∴2r =，所求轨迹面积2

24S ππ=⋅=，故选B.

例4. （2015年高考数学湖北卷）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NB

MB

=； ②

2NB MA NA

MB

-=； ③

22NB MA NA

MB

+=．其中正确结论的

序号是 .（写出所有正确结论的序号）

解：（1）易知半径2r =

，所以圆的方程为

()()

2

2

12

2x y -+-=；

（2）易知(

)()

0,21,0,21A B -+，设(),P x y 为圆C 上任意一点，则

(

)

()

()()()(

)(

)(

)

22

2

2

21422221221

22142

2221221221x y y y

PA PB

y y x y +-+-----=

===-+-++-+-

-，

故

①正确

；

(

)(

)

21212

NB MA

NA MB

-=+-

-=，

②

正

确；

(

)(

)

212122NB MA

NA MB

+=++

-=，③正确。

【注】：阿波罗尼斯圆！圆22:1O x y +=上任一点P 到,A B 的距离之比为

21PA

PB

=-. 练习:

1.已知点(2,0),(4,0)A B -，圆()2

2:416,C x y ++=P 是圆C 上任意一点，问：是否存在常数,λ使得

||

||

PA PB λ=？若存在，求出常数λ；若不存在，请说明理由． 解:

y

x

O

T

C N

A M

B