光学之夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹

{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的 衍射称为夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分 析衍射明暗条纹的分布规律。在什么地方光强最大？ 当u = kπ时(k = ±1，±2，±3，…)，即asinθ = kλ时，I = 0，这是暗纹中心的光强。 k是暗纹的级次，暗 纹中心的角位置为 k arcsin ( k a ) 光强
超越方程tanu = u的前三个正解是4.49、7.73 和10.9，或者是1.43π、2.46π和3.47π。
解的编号n越大，其解越接近于(n + 0.5)π。
单缝的夫琅禾费衍射的 光强是偶函数，中间有 一个很高峰，主极大的 相对强度取为1。
三个次极大的相对强 度分别为0.0472、 0.0165和0.00834。
同级的次极 大关于中央 明条纹是对 称分布的。
各个次极在在u =1.34π、2.46π和 3.47π处，可见：一个次极大的左 右并不对称，峰值偏向中央明纹。
中央明 条纹亮 度特别 大，次 级明纹 的亮度 随级次 的增加 而迅速 降低。
中央 明条 纹的 宽度 是次 级明 条纹 宽度 的2 倍。
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 y 分布规律。在什么地方光强最大？ 单缝 L 如图所示，设δ = asinθ， F A θ称为衍射角，δ是BF与AF之 θ a O 间的光程差，代表AB之间所 C 有点光源的最大光程差。 f B 用与AC平行的平面将BC分割成 缝长 λ/2 许多等长的小段，使每一段长 因此，这样的长 度均为λ/2。那么，这些平面也 条带称为半波带。 将单缝AB分割沿缝长的长条带。 相邻两半波带上所有 每对相邻长条带上的对应点沿θ 子波在屏幕F点的干涉 方向发出的平行光线之间的光程 叠加是相互抵消的。 差均为λ/2，对应的位相差为π。
A A sin ( n / 2 ) sin ( / 2 ) .
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ 相位差
2π
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(2)在波长一定的情况下，不 同缝宽的衍射条纹有什么差别？ 中央明纹的角宽度为Δθ0 = 2arcsin(λ/a)， [解析](2)根据公式可知：当单色光的波长一定时，缝 越小，中央明纹的角宽度就越大，表示衍射越明显。
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ y 单缝 L 如图所示，如果BC满足条件 A F a θ O 2 C (k = 1，2，3，…) f B 即：AB间最大光程差等于入射光 缝长 λ/2 半波长的奇数倍时，单缝被分割 成奇数个半波带时(最少3个)， k = 1，2，3，…的条纹 根据相邻半波带干涉相消的原则， 分别称为第一级明条纹， 对于满足上式的衍射角为θ的光线 第二级明条纹，第三级 在屏幕上干涉叠加，总有一个半 明条纹，…，正负号表 波带上的子波发出的光线不能被 示条纹关于中央明条纹 抵消，因此总的叠加结果就不会 是对称分布的。 为零，从而形成明条纹。
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 y 分布规律。在什么地方光强最大？ 单缝 L 如果BC满足如下条件 F A
B C k a sin k 2 k

2
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(2)在波长一定的情况下，不 同缝宽的衍射条纹有什么差别？(3)在缝宽一定的情况下，波长 分别为750nm、540nm和440nm的红光、绿光和蓝光以及三种混 合光的衍射条纹的分布规律是什么？ 单缝 L [解析](1)如图所示，单缝AB的宽度 A F 为a，其长度方向垂直于屏幕。 a O 平行光垂直入射到狭缝上， 通过单缝之后，光线经过透 B 镜L会聚在屏幕上某点F。 单缝内AB间各点的子波源都具有同一 单缝上各子波源发出 相位，由于透镜不产生附加的光程差， 的子波到达O点后仍 从单缝上各点到达O点的光线所经过的 然具有相同的位相， 几何路程不同，却有相同的光程。 从而干涉互相加强。 单缝中心O处出现一条与单缝平行的亮条纹，即中央明条纹。
将波长取为700nm， 当缝宽为10-5m时，中 央明纹的跨度很大， 衍射现象十分明显。 当缝宽为10-4m时， 在1º 度的范围内，除 了中央明纹之外，还 有两对次级明纹，衍 射现象也比较明显。
当缝宽为10-3m，中央明 纹之外还有一些次级明 纹，它们离中央明比较 近，衍射现象不太明显。 当缝宽为10-2m，次级 明纹紧靠中央明纹， 中央明纹的宽度很小， 衍射现象很不明显。
B C k a sin k ( 2 k 1)
Байду номын сангаас
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ 暗纹 k a sin k k 明纹 k a sin k (2 k 1) / 2 (k = 1，2，3，…) (k = 1，2，3，…) 如果衍射角不满足上面两式，也就是说:在这些方向上单缝既 不能分割成偶数个半波带，也不能分割成奇数个半波带， 则屏幕上对应位置的的光强介于极大和极小 这是因为 之间，使得明条纹在屏幕上延伸一定的宽度。 条纹形成 两个公式给出的分别是明条纹和暗条纹的中心位置。 的理论不 同。 明条纹的宽度就是两条暗条纹之间的距离。 注意：单缝衍射暗条纹形成条件与双缝干涉明条纹形成条件δk = dsinθk = ±kλ在形式上是相同的；单缝衍射明条纹形成条件与双 缝干涉暗条纹形成条件δk = dsinθk = ±(2k - 1)λ/2类似。
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ y 单缝 L 半波带法可定性说明明暗条纹的分 F A 布规律，但是不能解释光强的分布。 θ 利用振幅矢量法可得光强的公式。 O 如图所示，将缝分为n等份， C a B 每一份都是一个面光源，面 Δδ 光源上每一点都是子光源。 2 π a sin 在θ方向，相邻面元之间的光 相位差为 2π 程差为Δδ = δ/n = asinθ/n， n 假设每一个面元在F点引起的光波振幅为ΔA， 根据多个等幅同频振动的合振幅公式(5.11.10)， 所有面元在F点 产生的振幅为


2 π a sin
n
振幅
A A
sin ( n / 2 ) sin ( / 2 )
.
sin u 由于Δφ很小，所以sinΔφ A A0 = Δφ，因此 u
单缝 A
L
y F
其中A0 = nΔA，u = πasinθ/λ。
θ
O
C F点的 I I ( sin u ) 2 其中I = A 2。 a B 0 0 0 光强为 u Δδ 当θ→0时，u→0，因此I→I0。I0是最大光强，称为主极大。 单缝衍射中间的明纹是中央明纹，主极大是明纹中心的光强。
I I0 ( sin u u )
2
当k = ±1时，θ1 = arcsin(±λ/a)，这是第1级暗纹中心角位置。
中央明纹的角宽度为Δθ0 = 2arcsin(λ/a)，
在两个相邻的暗纹之间还存在着明纹，称为次级明纹。 令dI/du = 0，可得超越方程tanu = u，
次级明纹的角宽度 u k 大约为中央明条纹 如果求得超越方程的解uk， k arcsin ( ) 的角宽度的一半。 则次级明中心的角位置为 πa
次级 明条 纹中 三种 颜色 相互 错开， 形成 彩色 光谱。
当三种光混合在一起通过单缝时，中央明条纹的中间部分由蓝色、绿色和红色混合 成白色条纹，其宽度与蓝色的中央明条纹的宽度相同，而绿色与红色混合成黄色。
[解析](3)根据公式可知：当缝宽一定时，单色 光的波长越大，中央明纹的角宽度就越大，其 他明纹的角宽度也越大，表示衍射越明显。
白光中包含各种波长的单色光， 通过单缝衍射，会产生彩色光谱。
缝宽取10-4m，红光 的波长比较大，中 央明条纹比较宽。
红光的波长最大， 中央明条纹最宽；
蓝光的波长最短， 中央明条纹最窄。
当缝宽很小时，干涉条纹很宽；当缝宽很大时，干 涉条纹缩成了缝的形状，此时光线按直线传播。
{范例7.5} 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹
波长为λ的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(2)在波长一定的情况下，不 同缝宽的衍射条纹有什么差别？(3)在缝宽一定的情况下，波长 分别为750nm、540nm和440nm的红光、绿光和蓝光以及三种混 合光的衍射条纹的分布规律是什么？ 中央明纹的角宽度为Δθ0 = 2arcsin(λ/a)。
a B
θ C f
O
(k = 1，2，3，…)
缝长 λ/2 可见：AB间最大光差等于入射光半 k =1，2，3，…的条纹 波长的偶数倍时，也就是单缝被分 分别称为第一级暗条纹， 割成偶数个半波带时(最少2个)， 第二级暗条纹，第三级
根据相邻半波带干涉相消的原则， 暗条纹，…，式中的正 对于满足上式的衍射角为θ的光线， 负号表示条纹关于中央 明条纹是对称分布的。 在屏幕上干涉叠加的结果为零。