(理解平面向量的基本定理及其意义会用平面向量基本定重点

MP＝MB＋BP＝MB＋λBN＝
由AP∥MP，解得：λ＝ ，∴AP＝ 即AP∶PM＝4∶1.
＝4PM.
变式1.如右图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于 不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为____________．
解析：设AB＝a，AC＝b，MO＝AO－AM＝
4．平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx, λy) ＝(x2－x1，y2－y1)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
同理可求|OE|＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋Hale Waihona Puke Baidu＝6.
答案：6
利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，
即用特殊向量表示一般向量．
【例1】 如右图，在△ABC中，M是BC的中点，N在边AC上，
且AN＝2NC，AM与BN相交于P点，求AP∶PM的值． 解答： 设CA＝a，CB＝b， AP＝AB＋BP＝AB＋λBN＝AB＋λ(BC＋CN) ＝b－a＋λ(－b＋ a)＝( －1)a＋(1－λ)b， b＋λ(－b＋ a)＝ a＋ ( －λ)b，
3．平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单 位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示 成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标， 记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量． (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关．
同理NO＝ 由MO∥NO得MO＝λNO，即 ①×②整理得m＋n＝2. 答案：2
利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则， 通过列方程(组)进行求解．在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终
点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
【例2】已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝ 求点C、D的坐标和CD的坐标．
变式2.已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若AP＝AB＋λAC (λ∈R)， 则当λ为何值时，点P在第三象限？ 解答：AB＋λAC＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴AP＝(3＋5λ，1＋7λ)，设P点的坐标为(x，y)，
则AP＝(x－2，y－3)，
又∵P在第三象限，∴
3． (2009·重庆高考 )已知向量a＝ (1,1)，b＝ (2， x)，若 a＋ b与 4b－ 2a平行， 则实数x的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：∵a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)， ∴3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2. 答案：D
4．如右图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA 与 OC 的 夹 角 为 30° ， 且 |OA| ＝ |OB| ＝ 1 ， |OC| ＝ 2 ， 若 OC ＝ λOA ＋ μOB(λ 、 μ∈R)，则λ＋μ的值为__________． 解析：如右图，OC＝OD＋OE＝λOA＋μOB 在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，可求|OD|＝4，
4.2
向量的分解及坐标运算
(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单问题/掌
握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法、减法
与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件)
1．正行向量基本定理 （1）若a=λb,则a∥b; （2）若a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ，使a=λb. 2．平面向量的基本定理 如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数a1，a2使：a＝a1e1＋a2e2.其中不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底 ．
解析：解法一：由题意可知：|a|＝5，|b|＝1，a·b＝5⇒cos
＝1，即a、b共线并且同向，又|b|＝1⇒b＝ 解法二：令b＝(x，y)，由|b|＝1，可得x2＋y2＝1.① 由a·b＝5可得，4x－3y＝5.② 联立①②解得x＝ 答案：
A．(－3,6)
)
B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：解法一：设b＝(x，y)， 由已知条件 整理得
解得
∴b＝(－3,6)．
解法二：设b＝(x，y)，由已知条件
解得
(舍去)∴b＝(－3,6)．
解法三：
答案：A
变式3.平面向量a、b，a·b＝5，已知a＝(4，－3)，|b|＝1，则向量b＝________.
AB，DA＝－
BA，
解答：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得
AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，
DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)． 因为AC＝ AB，DA＝－ BA，所以有
解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．
∴解得λ<－1，即当λ<－1时，点P在第三象限.
1. 利用单位向量可以证明正弦定理，推导解析几何中点到直线的距离公式． 2．充分地使用单位向量，在向量的运算过程中可起到事半功倍的效果， 比如求向量a在向量b方向上的投影即 .
【例3】若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝
则b等于(
1．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝( A．(1,1) B．(－1，－1)
) C．(3,7) D．(－3，－7)
解析：BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案：B
2．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是(
A. B. C. D.
)
解析：∵A(4,1)，B(7，－3)，AB＝(3，－4)， ∴与AB同向的单位向量为 答案：A