2003年高考上海数学文科卷试题及答案
03届普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史类)及答案
03届普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文史类）及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长.球体的体积公式：，其中R表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线对称的直线方程为（）（A）（B）（C）（D）2．已知，，则（）（A）（B）（C）（D）3．抛物线的准线方程是的值为（）（A）（B）（C）（D）4．等差数列中，已知为（）（A）48（B）49（C）50（D）515．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）6．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）7．已知（）（A）（B）（C）（D）8．函数（）（A）0（B）（C）（D）9．已知（）（A）（B）（C）（D）10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（）（A）（B）（C）（D）11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角）若重合，则tg=（）（A）（B）（C）（D）112．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．不等式的解集是____________________.14．的展开式中系数是________.15．在平面几何里，有勾股定理：“设”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则______________________________________________.”2153416．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种_______________________（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知正四棱柱点中点ED1B1A1C1BDCAFM（Ⅰ）证明的公垂线（Ⅱ）求点的距离18．（本小题满分12分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求.19．（本小题满分12分）已知数列满足（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明yOOOx20．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象21．（本小题满分12分）O北东Oy线岸OxOr(t)P海在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（本小题满分14分）已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由OPAGDFECBxy2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．C9．C10．B11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．14．15．16．72三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D又EC=CC1，且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线（II）解：连结ED1，有V由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△DBC·d=S△DCD·EF.∵AA1=2·AB=1.故点D1到平面BDE的距离为.18．解：设z=由题设即（舍去）即|z|=19．（I）解∵（II）证明：由已知=所以20．解（I）所以函数的最小正周期为π，最大值为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知111故函数在区间上的图象是21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心的坐标为此时台风侵袭的区域是，其中t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即，解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设，由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为：，①直线GE的方程为：.②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，整理得.当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.2022年普通高等学校招生全国统一考试语文第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1-3题。
2003年夏季高考数学全国文科试卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ）（A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x = 2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724- 3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ） （A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg 32（D ）1lg 25 8．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ）（A ）0 （B ）4π （C ）2π （D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 110．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年夏季高考数学全国文科试卷 (4)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年夏季高考数学全国文科试卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
十年数2003年高考试题目录
目录
第一部分2003年高考试题答案解析
2003年高考数学试题（新课程卷、江苏卷、辽宁卷）2003年高考数学试题（全国卷、河南卷）
2003年高考数学试题（北京卷）
2003年高考数学试题（上海卷）
第二部分试题类编答案解析
第一章集合与简易逻辑
第二章函数
第三章数列
第四章三角函数
第五章平面向量与直线、平面、简单几何体（B）第六章不等式
第七章直线和圆的方程
第八章圆锥曲线方程
第九章直线、平面、简单几何体（A）
第十章排列、组合、二项式定理和概率、统计
第十一章极限、导数与积分
第十二章复数。
2003年普通高等学校招生考试(全国卷)文科数学
2003年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学一、选择题1.直线y=2x关于x轴对称的直线方程为(A)y=−12x(B)y=12x(C)y=−2x(D)y=2x2. 已知x∈(−π2,0),cos x=45, 则tan2x=(A)724(B)−724(C)247(D)−2473. 抛物线y=ax2的准线方程是y=2, 则a的值为(A)18(B)−18(C)8(D)−84. 等差数列{a n}中, 已知a1=13,a2+a5=4,a n=33,则n为(A) 48(B) 49(C) 50(D) 515. 双曲线虚轴的一个端点为M, 两个焦点为F1,F2,∠F1MF2=1200, 则双曲线的离心率为(A)√3(B)√62(C)√63(D)√336. 设函数f(x)={2−x−1,x≤0x12,x>0，若f(x0)>1, 则x0的取值范围是(A)(−1,1)(B)(−1,+∞)(C)(−∞,−2)∪(0,+∞)(D)(−∞,−1)∪(1,+∞)7.已知f(x5)=lg x，则f(2)=(A)lg2(B)lg32(C)lg132lg2(D)158.函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ=(A)0(B)π4(C)π2(D)π9. 已知点(a,2)(a>0)到直线l:x−y+3=0的距离为1，则a=(A)√2(B)2−√2(C)√2−1(D)√2+1R,该圆柱的全面积为10.已知圆锥的底面半径为R，高为3R, 它的内接圆柱的底面半径为34(A)2πR2πR2(B)94πR2(C)83πR2(D)3211.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1), 一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后, 依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角), 若P1和P4重合则tanθ=(A)13(B)25(C)12(D)112.一个四面体的所有棱长都为√2, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为(A)3π(B)4π(C)3√3π(D)6π二、填空题13.不等式√4x−x2<x的解集是14. (x2−12x )9的展开式中x9系数是 .15. 在平面几何里, 有勾股定理: “设ΔABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2. ”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是: “设三棱锥A−BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直, 则16.如图, 一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻地区不得使用同一颜色, 现有4 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有种 . ( 以数字作答)三、解答题17. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=1,AA1=2，E为CC1中点, F为BD1中点(1) 证明:EF为BD1与CC1的公垂线;(2) 求点D1到面BDE的距离.18. 已知复数z的辐角为600, 且|z−1|是|z|和|z−2|的等比中项, 求|z|.19.已知数列{a n}满足a1=1,a n=3n−1+a n−1(n≥2)(1)求a2,a3(2)证明：a n=3n−1220.已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间[−π2,π2]上的图象21.在某海滨城市附近海面有一台风, 据监测, 当前台风中心位于城市O(如图) 的东偏南θ(θ=arc cos√210)方向300 km 的海面P处, 并以20 km/h 的速度向西偏北450方向移动, 台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为60 km, 并以10 km/h 的速度不断增大, 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?22.已知常数a>0, 在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动, 且BEBC =CFCD=DGDA,P为GE与OF的交点(如图), 问是否存在两个定点, 使到这两点的距离的和为定值? 若存在, 求出这两点的坐标及此定值; 若不存在, 请说明理由.。
2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(文史类)
绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为( )A.x y 21-= B.x y 21=C.x y 2-=D.x y 2= 2.已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π( )A.247 B.－247C.724 D.－724 3.抛物线2ax y =的准线方程是2=y ,则a 的值为( )A.81 B.－81 C.8 D.－8 4.等差数列{a n }中,已知为则n a a a a n ,33,4,31521==+=( )A.48B.49C.50D.515.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F 1,F 2,∠ F 1MF 2＝120°则双曲线的离心率为 ( )A.3B.26C.36 D.33 6.设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是 ( )A.(－1,1)B.(—1,＋∞)C.(－∞,－2)∪(0,＋∞)D.(－∞,－1)∪(1,＋∞) 7.已知==)2(,lg )(5f x x f 则( )A.2lgB.32lgC.321lgD.2lg 51 8.函数R x y 是)0)(sin(πϕϕ≤≤+=上的偶函数,则ϕ＝ ( )A.0B.4π C.2π D.π 9.已知点03:)0)(2,(=+->y x l a a 到直线的距离为1,则a ＝( )A.2B.－2C.12-D.12+10.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,它的内接圆柱的底面半径为43R,该圆柱的全面积为( )A.22R πB.249R πC.238R πD.225R π11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4(入射角等于反射角).若P 4与P 0重合,则tg θ＝ ( )A.31B.52 C.21 D.112.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 ( )A.π3B.4πC.π33D.π6二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上. 13.不等式x x x <-24的解集是 . 14.992)21(x xx 展开式中-的系数是 . 15.在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,则AB 2＋AC 2＝BC 2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直,则 .” 16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色, 现有4种颜色可供选择,则不同的着色方 法共有 种.(以数字作答)三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,AB ＝1,AA 1＝2,点E 为CC 1中点,点F 为BD 1中点. (I)证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； (II)求点D 1到面BDE 的距离.18.(本小题满分12分)已知复数z的辐角为60°,且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项,求|z|.19.(本小题满分12分) 已知数列|n a |满足)2(3,11121≥+==--n a a a n n(I)求;,32a a(II)证明213-=n n a20.(本小题满分12分) 已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=. (I)函数数)(x f 的最小正周期和最大值;(II)在给出的直角坐标系中,画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.21.(本小题满分12分) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22.(本小题满分14分)已知常数,0>a 在矩形ABCD 中,AB ＝4,BC ＝4a ,O 为AB 的中点,点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动,且,DADCCD CF BC BE ==P 为GE 与OF 的交点(如图),问是否存在两个定点,使P 到这两点的距离的和为定值？若存在,求出这两点的坐标及此定值；若不存在,请说明理由.数学(文史类)参考答案1.C2.D3.B4.C5.B6.D7.D8.C9.C 10.B 11.C 12.A 二、13.]4,2( 14.221-15.2222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16.72 三、17.(I)证明:取BD 中点M,连结MC,FM,∵F 为BD 1中点, ∴FM ∥D 1D 且FM ＝21D 1D 又EC ＝21CC 1,且EC ⊥MC, ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1,∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线 (II)解:连结ED 1,有V由(I)知EF ⊥面DBD 1,设点D 1到面BDE 的距离为d,则S △DBC ·d ＝S △DCD 1·EF. ∵AA 1＝2·AB ＝1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18.解:设z ＝2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得(舍去)即|z|＝12-19.(I)解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a(II)证明:由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---＝.213133321-=++++--n n n所以213-=n n a20.解(I)x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π,最大值为21+.(Ⅱ)由故函数)(x f y =在区间]2,2[-上的图象是21.解:如图建立坐标系:以O 为原点,正东方向为x 轴正向. 在时刻:t(h)台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-, 其中10)(=t r t ＋60,,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t , 解得2412≤≤t .答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭22.解:根据题设条件,首先求出点P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A(－2,0),B(2,0),C(2,4a ),D(－2,4a )设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE , 由此有E(2,4ak ),F(2－4k ,4a ),G(－2,4a －4ak ). 直线OF 的方程为:0)12(2=-+y k ax , ① 直线GE 的方程为:02)12(=-+--a y x k a . ②从①,②消去参数k ,得点P(x ,y )坐标满足方程022222=-+ay y x a ,整理得1)(21222=-+a a y x . 当212=a 时,点P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时,点P 轨迹为椭圆的一部分,点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212<a 时,点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2. 当212>a 时,点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之 和为定值a 2.。
2003年高考试题上海卷(L)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．3．华东师大二附中、大同中学、格致中学考生请注意试卷最后的符号说明．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin cos 4cos sin ππx x x x y 的最小正周期T = .（2）若3π=x 是方程2cos （x ＋α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝ .（3）在等差数列｛a n ｝中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .（4）在极坐标系中，定点⎪⎭⎫⎝⎛2,1πA ，点B 在直线ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .（5）在正四棱锥P －ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）（6）设集合A ={x | |x |<4}，B ={x | x 2－4x ＋3<4}，则集合{x | x ∈A 且x A ∩B }= . （7）在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =2：3：4，则∠ABC = .（结果用反三解函数值表示）（8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列｛a n ｝的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .（9）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。
现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）（10）方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）（11）已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛n A 2,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛-n B 2,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,24n C ，其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim ＝ .（12）给出问题：是F 1、F 2双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点的F 2距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴上为8，由||PF 1|－| PF 2||＝8，即|9－| PF 2||＝8，得| PF 2|＝1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内;或不正确，将正确结果填在下面空格内.． 二、选择题（本在题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. （13）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（A ）y=tg|x |.（B ）y ＝cos （－x ）. （C ）.2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y（D ）.|2ctg |xy =（14）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（A ）α、β都垂直于平面γ.（B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等. （C ）l ，m 是α内两条直线，且l ∥β, m ∥β.（D ）是两条异面直线，且l ∥α, m ∥α, l ∥β, m ∥β.（15）设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么""212121c c b b a a ==是“M ＝N ”的 （A ）充分非必要条件．（B ）必要非充分条件 ．∈（C）充要条件．（D）既非充分又非必要条件．（16）f（x）是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示.令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（A）若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称.（B）若a＝1，0<b<2，则方程g（x）=0有大于2的实根.（C）若a＝－2，b＝0，则函数g（x）的图象关于y轴对称.（D）若a≠1， b＝2，则方程g（x）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.（17）（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ＋i，求|z1〃z2|的最大值和最小值.（18）（本题满分12分）已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB＝4，AD＝2.若B1D⊥BC，直线B1D 与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积. （19）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小满分5分，第2小题满分9分．已知数列{a n}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列．（1）求和：;,3342331323122312221CaCaCaCaCaCaCa-+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明;（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为以双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个随圆的形状．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点，已知|AB |=2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB 的坐标;（2）求圆x 2－6x +y 2+2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程;（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a 的取值范围．（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分86分，第3小题满分7分．已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体;存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f （x ＋T ）=T f （x ）成立．（1）函数f （x ）＝x 是否属于集合M ？说明理由;（2）设函数f （x ）＝a x（a >0且a ≠1）的图象y =x 与的图象有公共点，证明：f （x ）= a x∈M ;（3）若函数f （x ）＝sin k x ∈M ，求实数k 的取值范围．2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学参考答案（理工农医类）说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精进行评分。
2003年夏季高考数学全国文科试卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年夏季高考数学全国文科试卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P（入射角等于反射角）。
2003年夏季高考数学全国文科试卷_4
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年夏季高考数学全国文科试卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
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第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg32（D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
2003年夏季高考数学全国文科试卷
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
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第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ）（A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg32 （C ）1lg32 （D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）（A （B ）2 （C 1 （D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学（文史类）
本试卷共22道题，满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷 （共110分）
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分。 1．函数)4sin(cos)4cos(sinxxxxy的最小正周期T= . 2．若则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23xx . 3．在等差数列}{na中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10= . 4．已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标 是 . 5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且}BAx= . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a1，公比为q的等比数列}{na的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= . 9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nCnBnA其中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则nnSlim= .
12．给出问题：F1、F2是双曲线201622yx=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ）
A．y=tg|x|. B．y=cos(－x). C．).2sin(xy D．|2|xctgy. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N)41,21(四点中，函数xay的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 （ ） A．P． B．Q. C．M. D．N. 16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下 列关于函数g（x）的叙述正确的是 （ ） A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称. B．若a=1， 0C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称 D．若 a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根. 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分） 已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
18．（本题满分12分） 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
19．（本题满分14分） 已知函数xxxxf11log1)(2，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为lhS4，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量AB的坐标； （2）求圆02622yyxx关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围. 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.
已知数列}{na（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：;,334233132031223122021CaCaCaCaCaCaCa （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. （3）设q≠1，Sn是等比数列}{na的前n项和，求：
nnnnnnnnCSCSCSCSCS134231201)1( 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文史类）答案 一、（第1题至第12题） 1．π. 2．34. 3．－49 . 4．)21,21(. 5．arctg2. 6．[1,3].
7．.611arccos 8．10,0)(21,1(1qa的一组数）. 9．190119 10．2.6 . 11．4π 12．|PF2|=17. 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题） 17．[解]
.2sin412cossin2)sin(cos)cossin1(|)sin(coscossin1|||2222221izz
故||21zz的最大值为,23最小值为2. 18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD. 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=32. 又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以
∠B1DB=30°，于是BB1=31BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=38. 19．[解]x须满足,11011,0110xxxxxx得由 所以函数)(xf的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数)(xf的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有 )()11log1(11log1)(22xfxxxxxxxf，所以)(xf是奇函数. 研究)(xf在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1,0)112(log)112(log,011)],112(log)112([log)11(11log111log1)()(1222211222212222112121xxxxxxxxxxxxxxxfxf由 得)()(21xfxf>0，即)(xf在（0，1）内单调递减， 由于)(xf是奇函数，所以)(xf在（－1，0）内单调递减.
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为12222byax. 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744ala此时.因此隧道的拱宽约为33.3米. （2）由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba
4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222bhalbabaSablhSbhalababba此时得有取最小值时当所以且即因为
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. [解二]由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba 于是,121481222aab
,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222aaSabaaba有取最小值时当即 得.229,211ba以下同解一. 21．[解]（1）设,034100,0||||||2||},,{22vuvuOAABOAABvuAB即则由得 },3,4{.86,86vuABOAOBvuvu因为或 所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}. （2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：.21xy 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
,31,231021223yxxyyx得故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10。
（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则
.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121aaaaaaxaxxxaaxxaxxxxyyyyxx得于是由的两个相异实根为方程即得
故当23a时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点. 22．[解]（1） .)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021qaqaqaqaaCaCaCaCaqaqaqaaCaCaCa