画法几何：第八周_平面及直线与立体相交
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作图步骤：
* 作完整圆柱的左视图; * 求特殊点A、B、C、D； * 求中间点Ⅰ、Ⅱ； * 光滑连接椭圆曲线; * 检查轮廓线，判断可见性。
轮廓线上的点……
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
10
【例】 ：求侧面投影
● ●
●
●
● ●
●
●
●
·
●
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
11
【例】 ：求俯视图
* 作完整圆柱的俯视图; * 求作P、Q的截交线： * 求作S的截交线：两段圆弧 * 作出S与P、Q的交线： * 检查轮廓线，完成俯视图。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
14
【例】 ：求楔头上截交线的水平、侧面投影
2′(3′)
1′ (5′)
4′
1″ 5″
3″
4″ 2″
3
5
①先求特殊点：
1′2′3′→ 123→1″2″3″ ②再求一般点：
图，求作俯视图。
分析： P为正垂面，与棱柱的8条棱
线均相交，截交线为八边形；
截交线的正面投影积聚于p′、
侧面投影为p″重合，水平投影
应与侧面投影类似。
b′c′f′ g′ p′
g″ f″ c″ b″ 作图步骤：
d′e′ a′h′
e″ h″
d″ * 作出完整棱柱的俯视图; p″
a″ * 确定八边形顶点的对应关系；
4′5′→4″5″ →45； ③判别可见 性，光滑 连接各点， 完善视图。
1
2
4
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
15
【例】：求接头的正面、水平投影
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
16
【例】带孔的圆柱被截，求截交线
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
17
8.2.2 平面与圆锥相交
h
g
e
* 顺序连接各顶点，作出八 边形；
pf c
* 检查棱柱各棱线的投影，完 成俯视图。
d
a
b
检查：
p与p″的类似性
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
7
【例】求棱锥被组合平面截切后的俯、左视图
s′
s″
6′
4′（5′）
6″
5″
4″
1′
2′(3′)
c″ 3″
1″
2″
a′
m′(n′) b′(c′)
截平面与圆锥面轴线的相对位置不同，截交线可能为： 圆、椭圆、直线、抛物线、双曲线。
与轴线垂直
与轴线倾斜
与一条素线 平行
与轴线平行
过锥顶
圆
椭圆
抛物线 双曲线 两相交直线
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
18
平面与圆锥相交,其截交线有五种情况：
P
① θ=90°时，截交线为圆；
② φ＜θ＜90°时，截交线为椭圆；
13
【例】已知圆柱左端开一方槽后的主视图和左视图，求作俯视图。
分析：
q′
p′ s′
a′ c′
e′ b′ d′ b″d″
c
d
P、Q平行于圆柱轴线，与圆柱面 e″ 交线为直线（侧垂线）；
S垂直于圆柱轴线，截交线为圆弧。 a″b″ P、Q与S交线为正垂线；
截交线的正面、侧面投影均为已 知。
作图步骤：
a
b e
P B
பைடு நூலகம்b′
b″
1′2′
D
p′ c′d′
c″ 2″ 1″
a′
C
a″
A d
2
a
b
1 c
逐点法绘制曲线：准确找出曲线上的 特殊点和中间点的投影。 特殊点：极限位置点，椭圆长短轴端 点，曲线拐点，切点，可见性分界点，
分析：
P倾斜于圆柱轴线，截交线 d″ 为椭圆；
P为正垂面，截交线的正面 投影积聚在p′，水平投影与 俯视图的圆重合，侧面投影应 为椭圆。
第8周
平面及直线与立体相交
内容
8.1 平面与平面体相交 8.2 平面与回转体相交 8.3 直线与立体相交
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
2
• 定义
• 截切：用平面与立体相交，截去体的一部分 • 截平面：用以截切立体的平面 • 截交线：截平面与立体表面的交线
截平面 截交线
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
a″
b″
c
n3
5
a1
6
s
4 m2
b
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
8
8.2 平面与回转体相交
8.2.1 平面与圆柱体相交
平面截切圆柱表面时，截平面P与轴线的相互位置关 系决定截交线的形状：
P⊥轴线
P 轴线
P ∥轴线
圆
《画法几何》
椭圆
两平行直线
第8周 平面及直线与立体相交
9
【例】圆柱体被正垂面P截切，求作左视图。
P CB
D A
分析：
P与圆锥轴线倾斜，截交线为椭圆；截交线的正 面投影积聚于p′，水平投影和侧面投影应为椭圆。
作图步骤：
p′ e′ f′ b′ c′ d′ a′
cf ab
de
* 作出完整圆锥的俯视图和左视图；
③ θ=φ时，截交线为抛物线；
④ θ＜φ，θ=0°时，截交线为双曲线；
⑤ 截平面通过锥顶，截交线为两素线+底面直线。
φ θ
①θ=90° ②φ＜θ＜90° ③θ=φ
④θ＜φ，θ=0°
※其中：φ=1/2锥顶角；θ为截平面与轴线的夹角。
⑤截平面通过锥顶
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
19
【例】正垂面P截切圆锥，求作俯视图和左视图。
s′
1′
2（′ 3′）
s″
3″ 1″ 2″
a′
b′ c(c′) c″
a″
b″
3
a
1s
2
b
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
5
【例8】.求1 四平棱面锥被与截平切后面的体俯相视图交和左视图。
分析：
(4) 1 3 2
1 2
4 3
截平面与四棱柱的四条棱线相 交，截交线为四边形。
截平面为正垂面，截交线的正 面投影积聚，水平投影、侧面投
影为类似的四边形图形。
4 32 1
ⅣⅠ ⅢⅡ
作图步骤：
* 利用主视图中截平面的积聚性， 找出截交线4个顶点的正面投影： * 利用“三等”关系，在棱线上作出 截交线顶点的侧面和水平投影；
* 顺序连接各顶点，画出截交线；
* 补全棱线的投影。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
6
【例】正八棱柱被平面P截切，已知截切后的主视图和左视
1’
2’20’ 3’30’ 4’40’
20” 30” 40”
40
30 20
1
1”
2” 3” 4”
43 2
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
12
讨论：
截平面与圆柱体轴线的夹角变化时，截交线侧面投影的椭 圆的长、短轴也随之变化。
当夹角为45°时，投影为一个圆。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
3
8.1 平面与平面体相交
• 截交线的性质
➢ 是截平面与立体表面的共有线； ➢ 是一封闭的平面多边形; ➢ 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的
相对位置； ➢ 截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
4
【例】求三棱锥被水平面截后的另两投影
* 作完整圆柱的左视图; * 求特殊点A、B、C、D； * 求中间点Ⅰ、Ⅱ； * 光滑连接椭圆曲线; * 检查轮廓线，判断可见性。
轮廓线上的点……
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
10
【例】 ：求侧面投影
● ●
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《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
11
【例】 ：求俯视图
* 作完整圆柱的俯视图; * 求作P、Q的截交线： * 求作S的截交线：两段圆弧 * 作出S与P、Q的交线： * 检查轮廓线，完成俯视图。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
14
【例】 ：求楔头上截交线的水平、侧面投影
2′(3′)
1′ (5′)
4′
1″ 5″
3″
4″ 2″
3
5
①先求特殊点：
1′2′3′→ 123→1″2″3″ ②再求一般点：
图，求作俯视图。
分析： P为正垂面，与棱柱的8条棱
线均相交，截交线为八边形；
截交线的正面投影积聚于p′、
侧面投影为p″重合，水平投影
应与侧面投影类似。
b′c′f′ g′ p′
g″ f″ c″ b″ 作图步骤：
d′e′ a′h′
e″ h″
d″ * 作出完整棱柱的俯视图; p″
a″ * 确定八边形顶点的对应关系；
4′5′→4″5″ →45； ③判别可见 性，光滑 连接各点， 完善视图。
1
2
4
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
15
【例】：求接头的正面、水平投影
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
16
【例】带孔的圆柱被截，求截交线
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
17
8.2.2 平面与圆锥相交
h
g
e
* 顺序连接各顶点，作出八 边形；
pf c
* 检查棱柱各棱线的投影，完 成俯视图。
d
a
b
检查：
p与p″的类似性
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
7
【例】求棱锥被组合平面截切后的俯、左视图
s′
s″
6′
4′（5′）
6″
5″
4″
1′
2′(3′)
c″ 3″
1″
2″
a′
m′(n′) b′(c′)
截平面与圆锥面轴线的相对位置不同，截交线可能为： 圆、椭圆、直线、抛物线、双曲线。
与轴线垂直
与轴线倾斜
与一条素线 平行
与轴线平行
过锥顶
圆
椭圆
抛物线 双曲线 两相交直线
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
18
平面与圆锥相交,其截交线有五种情况：
P
① θ=90°时，截交线为圆；
② φ＜θ＜90°时，截交线为椭圆；
13
【例】已知圆柱左端开一方槽后的主视图和左视图，求作俯视图。
分析：
q′
p′ s′
a′ c′
e′ b′ d′ b″d″
c
d
P、Q平行于圆柱轴线，与圆柱面 e″ 交线为直线（侧垂线）；
S垂直于圆柱轴线，截交线为圆弧。 a″b″ P、Q与S交线为正垂线；
截交线的正面、侧面投影均为已 知。
作图步骤：
a
b e
P B
பைடு நூலகம்b′
b″
1′2′
D
p′ c′d′
c″ 2″ 1″
a′
C
a″
A d
2
a
b
1 c
逐点法绘制曲线：准确找出曲线上的 特殊点和中间点的投影。 特殊点：极限位置点，椭圆长短轴端 点，曲线拐点，切点，可见性分界点，
分析：
P倾斜于圆柱轴线，截交线 d″ 为椭圆；
P为正垂面，截交线的正面 投影积聚在p′，水平投影与 俯视图的圆重合，侧面投影应 为椭圆。
第8周
平面及直线与立体相交
内容
8.1 平面与平面体相交 8.2 平面与回转体相交 8.3 直线与立体相交
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
2
• 定义
• 截切：用平面与立体相交，截去体的一部分 • 截平面：用以截切立体的平面 • 截交线：截平面与立体表面的交线
截平面 截交线
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
a″
b″
c
n3
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a1
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4 m2
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《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
8
8.2 平面与回转体相交
8.2.1 平面与圆柱体相交
平面截切圆柱表面时，截平面P与轴线的相互位置关 系决定截交线的形状：
P⊥轴线
P 轴线
P ∥轴线
圆
《画法几何》
椭圆
两平行直线
第8周 平面及直线与立体相交
9
【例】圆柱体被正垂面P截切，求作左视图。
P CB
D A
分析：
P与圆锥轴线倾斜，截交线为椭圆；截交线的正 面投影积聚于p′，水平投影和侧面投影应为椭圆。
作图步骤：
p′ e′ f′ b′ c′ d′ a′
cf ab
de
* 作出完整圆锥的俯视图和左视图；
③ θ=φ时，截交线为抛物线；
④ θ＜φ，θ=0°时，截交线为双曲线；
⑤ 截平面通过锥顶，截交线为两素线+底面直线。
φ θ
①θ=90° ②φ＜θ＜90° ③θ=φ
④θ＜φ，θ=0°
※其中：φ=1/2锥顶角；θ为截平面与轴线的夹角。
⑤截平面通过锥顶
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
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【例】正垂面P截切圆锥，求作俯视图和左视图。
s′
1′
2（′ 3′）
s″
3″ 1″ 2″
a′
b′ c(c′) c″
a″
b″
3
a
1s
2
b
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
5
【例8】.求1 四平棱面锥被与截平切后面的体俯相视图交和左视图。
分析：
(4) 1 3 2
1 2
4 3
截平面与四棱柱的四条棱线相 交，截交线为四边形。
截平面为正垂面，截交线的正 面投影积聚，水平投影、侧面投
影为类似的四边形图形。
4 32 1
ⅣⅠ ⅢⅡ
作图步骤：
* 利用主视图中截平面的积聚性， 找出截交线4个顶点的正面投影： * 利用“三等”关系，在棱线上作出 截交线顶点的侧面和水平投影；
* 顺序连接各顶点，画出截交线；
* 补全棱线的投影。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
6
【例】正八棱柱被平面P截切，已知截切后的主视图和左视
1’
2’20’ 3’30’ 4’40’
20” 30” 40”
40
30 20
1
1”
2” 3” 4”
43 2
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
12
讨论：
截平面与圆柱体轴线的夹角变化时，截交线侧面投影的椭 圆的长、短轴也随之变化。
当夹角为45°时，投影为一个圆。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
3
8.1 平面与平面体相交
• 截交线的性质
➢ 是截平面与立体表面的共有线； ➢ 是一封闭的平面多边形; ➢ 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的
相对位置； ➢ 截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。
《画法几何》
第8周 平面及直线与立体相交
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【例】求三棱锥被水平面截后的另两投影