高中数学第1章集合章末复习课学案北师大版必修1

高中数学第

1章集合章末复习课学案北师大版必修1

集合的基本概念

【例1】( ) A．8 B．16 C．32 D．64

[思路探究]先确定集合B中元素个数，再利用子集个数的计算公式求解．

C[

y

x－y

x

01 2

00－1－2

110－1

2210

由上表知，B＝{－2，－532.]

1．用列举法表示集合，其默认的条件是集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素

一定要满足互异性．

2．判断集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一个集合时只能算作一个． 3．若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究．

1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2

＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0

D ．0或4

A [当a ＝0时，A ＝∅，不合题意；当a ≠0时，Δ＝a 2

－4a ＝0，解得a ＝4.] 2．若2∈{2a －1,1－a 2

}，则a ＝________. 32 [∵1－a 2

≤1，∴2a －1＝2，解得a ＝32

.] 集合的基本关系

【例2】 A x x x B x x 2

x p B A ，求实数p 的取值范围．

[解] (1)当B ＝∅时，B ⊆A ，由Δ＝(－1)2

－4p <0， 解得p >14

.

(2)当B ≠∅，且B ⊆A 时，方程x 2

－x ＋p ＝0存在两个正实根． 由x 1＋x 2＝1>0，Δ＝(－1)2

－4p ≥0，且x 1x 2＝p >0， 得0

4

.

由(1)(2)可得p 的取值范围为{p |p >0}．

1．判断两集合关系的两种常用方法

一是化集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．处理集合间关系问题的关键点

已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．

3．已知集合A ＝{x ∈R |－20}，则A 与B 之间的关系为( )

A ．A

B B ．A B

C ．A ＝B

D ．A B

A [

B ＝{x |x >－3}，

把集合A ，B 在数轴上表示出来

由上图知，A

B .]

4．已知{x |x 2

－5x ＋6＝0}⊆{a,2,2a －1}，求实数a 的值． [解] 由{x |x 2

－5x ＋6＝0}＝{2,3}，得3∈{a,2,2a －1}， ∴a ＝3，或2a －1＝3， 解得a ＝2或3.

当a ＝2时，集合{a,2,2a －1}中的元素不满足互异性，舍去． 当a ＝3时，{a,2,2a －1}＝{3,2,5}满足题意． 综上得，a ＝3.

集合的基本运算

设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知A ∪B ＝A ，求实数m

的取值范围．

[思路探究] 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，需按B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论，当B ≠∅时，利用数轴列出关于m 的不等式组求得m 的取值范围．

[解] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .

当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴表示如图所示．

则⎩⎪⎨⎪⎧

m －1≥－1，2m ＋1≤6，

解得0≤m ≤5

2

.

综上所述，实数m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤5

2

.

在集合运算过程中应力求做到“三化”：

1意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自

变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集.

2具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集

等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.

3直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而

借助数形结合思想解决问题.

5．(1)已知集合P ＝{x |x 2

≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤1 B ．a ≥1

C ．a ≤－1

D ．a ≥1或a ≤－1

(2)若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2

，x ∈R }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}

D ．∅

(3)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )

A ．{1,3}

B ．{3,7,9}

C ．{3,5,9}

D ．{3,9}

(4)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1，a 2

－1,4}，∁U A ＝{2，a ＋3}，则实数a ＝________. (1)A (2)C (3)D (4)2 [(1)由P ∪M ＝P ，得M ⊆P ，所以a ∈P ，所以a 2

≤1，解得－1≤a ≤1.

(2)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，所以，A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}． (3)用Venn 图求解．

由上图知，A ＝{3,9}． (4)依题意得

⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

－1＝3，a ＋3＝5

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2

－1＝5，a ＋3＝3，

解得a ＝2.]

补集思想的应用

[探究问题]

1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？

提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素． 2．∁U A 在U 中的补集∁U (∁U A )与集合A 有什么关系？