最速降线

令：
性能泛函取为
J(t)=
即：
12g∫0a Nhomakorabea1+(y`)2 dx y 1+(y`)2 y
得： y=c*sin2 α 1 — = (1-cos2α) 2 dy 2c sinα cosα dx= — = dα y` cot α
y`=coα
= c(1-cos2 α)dα
L= 初始条件 y(0)=0 x= c (1-cos2α) dα c (2α -sin2α) =— 2
问题提出
在垂直平面内 确定一条连接两不在同一 垂线上的定点A、B的曲线，使质点在这曲 线上用最短的时间由A滑向B 介质的摩擦力和空气 A 阻力忽略不计）。
B
建模
1，模型假设与建立
在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示， 假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略 摩擦力和阻力。 设质点质量为m 0 x 重力加速度为g, A 质点的速度为v
郑州轻工业学院
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电气与信息工程学院
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最速降线问题
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引言
在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧
度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度 的路线下落的时间却比直线短
故宫屋顶
科技馆里的最速降线模型
历史背景

1630年，伽利略提出了数学史上最著名的最速降 线问题： “一个质点在重力作用下，从一个给定点A到 不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着 什么曲线滑下所需时间最短。” 瑞士数学家约翰· 伯努 利在1696年再次提出这个最速降线的问题，向全欧洲 数学家征求解答约翰伯努利，雅各布· 伯努利牛顿、莱 布尼兹和罗毕达都给了自己的解法，但不近相同 最后， 莱昂哈德· 欧拉（约翰· 伯努利的学生）在1744年最先给 了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新的数 学分支。
由欧拉方程得：
∫0
a
y(1+(y`)2 )=c
解析
令： t=2α 得： 1 x= — c(t-sint) 2 1 y= — c(1-cost) 2
其中：c可由y(a)=b 求得 因此可知：最速下降曲线是圆 滚线即是半径为c/2的圆沿x轴 滚动时圆周上的一点所描出的 曲线中的一段（旋轮线）。
总结
在我国古代建筑中就有最速降线原理的应用， 但是一直没有此类问题的通俗解法 。欧拉求最 速降线的问题其意义大大超过了问题的本身，他 所使用的变分思想对导致了数学的一个分支—— 变分学的诞生。对于很多求极值的物理过程问题 ，他给我我们提供了一种简单有效的通用方法
y
B
解析
根据能量守恒得
1 mv2 — =mgy 2
ds V= — = dt ds Secθ = — dx 2mgy
0
A
dx
x
dy tanθ = — dx y
ds
θ
dy
B
Sec2θ+ tan2θ =1
ds= 1+(y`)2 dx
ds dt= — = 1+(y`)2 dx v 2gy
解析
t=
∫0
a
1+(y`)2 dx 2gy