数学实验第2次课

实验四
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函数的迭代、 函数的迭代、混沌与分形
1、 定义 、 给定某个初值， 给定某个初值，反复作用以同一个函数的 过程称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 = f (x0 ), x2 = f (x1),⋯ xn = f (xn−1),⋯ ,
它生成了一个序列{ 迭代序列。 它生成了一个序列 xn }，称为迭代序列。 ，称为迭代序列
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2、迭代序列的收敛性 、 满足： 设函数 f (x)满足： (1)对任意 x ∈(a,b), f (x) ∈(a,b) ； 对任意 (2) f (x)在( a , b)内可导，且存在常数 L使得 内可导， 内可导
f ′(x) ≤ L <1
则当初值 x0 ∈(a,b)时，由 f (x) 生成的迭代序 列收敛． 列收敛． 问题1：如果迭代序列收敛， 问题 ：如果迭代序列收敛，收敛点会满足怎样 的条件？收敛到不动点， 的条件？收敛到不动点，即 x0 = f (x0 )
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3、分式线性函数的迭代 、
25x −85 例： f (x) = 。 x +3
先取初值x 先取初值 0=5.5
clc; f=inline(‘(25*x-85)/(x+3)’); %定义函数 syms x; x0=5.5; for i=1:20 x0=f(x0); fprintf('%g, %2.9f\n', i,x0); pause(0.2); end
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迭代次数 n 迭代序列 xn 1 6.17647 2 7.5641 3 9.85437 4 12.5529 5 14.7125 6 15.9668 7 16.5642 8 16.8218 9 16.9281 10 16.9711
迭代次数 n 迭代序列 xn 11 16.9884 12 16.9954 13 16.9981 14 16.9993 15 16.9997 16 16.9999 17 17. 18 17. 19 17. 20 17.
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(25 x-85)/(x+3) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
2
4
6
8
10 x
12
14
16
18
20
5. 认识混沌 迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？ 迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？ 1. 迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性 迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性 重复
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结论：只要初值不取为 ，迭代序列都收敛， 结论：只要初值不取为-3，迭代序列都收敛， 并且收敛速度较快；只要初值不取为5，迭 并且收敛速度较快；只要初值不取为 ， 代序列总收敛于17。 代序列总收敛于 。 易知， 的不动点恰好是17与 ， 称为 称为排 易知，f(x) 的不动点恰好是 与5，5称为排 斥点，17称为吸引点。 斥点， 称为吸引点。 称为吸引点 问题2 为何17是吸引点 是排斥点 回忆 是吸引点， 是排斥点？ 问题 为何 是吸引点，5是排斥点？(回忆 前面的定理) 前面的定理 例1 用分式函数的迭代法近似计算 2
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一个试验：首先取a的值为 ，在(0，1)中随 一个试验：首先取 的值为3， ， 中随 的值为 机取一数x 作为初值进行迭代，共迭代300次 机取一数 0作为初值进行迭代，共迭代 次 左右，丢弃起始的100次迭代的数据 次迭代的数据， 左右，丢弃起始的 次迭代的数据，在图 上绘出所有的点( 上绘出所有的点 a , xn )) (>100)．然后慢慢 ． 地增加a值 每增加一次， 地增加 值，每增加一次，都重复前面的步 骤，一直增加到a = 4为止，这样得到的图形， 一直增加到 为止，这样得到的图形， 为止 称为Feigenbaum图． 称为 图
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
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8.二维迭代与分形 二维迭代与分形 由两个二元函数 f (x, y)与 g(x, y) 取初值 ( x0, y0)构成的迭代 构成的迭代 xn+1 = f (xn, yn) yn+1 = g(xn, yn) 称为一个二维迭代． 称为一个二维迭代．
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4.迭代的可视化（蜘蛛网图） 迭代的可视化（蜘蛛网图） 迭代的可视化
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f=inline('(25*x-85)/(x+3)'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=5.5; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[0,20]); ezplot(f(x),[0,20]); axis([0,20,0,20]); hold off
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logistic=inline('u*x*(1-x)'); x0=0.5; for u=3.0:0.01:4 for i=1:300 x0=logistic(u,x0); if i>100 plot(u,x0,'k','linewidth',1); hold on; end; end; end; hold off
x0 , x1,⋯ xN , xN+1,⋯ xN+k−1 xN , xN+1,⋯ xN+k−1 ⋯ , , ,
k称为该序列的周期 称为该序列的周期 2. 序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌． 序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌 混沌． 例
f (x) =αx(1− x) (0 ≤ x ≤1)
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6.人口增长的 人口增长的Logistic模型 人口增长的 模型
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取其它的初值做试验
初值 -40000 -500 -20 0 4 4.9 5 5.1 6 20 100 1000 收敛性 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于5 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 收敛于17 得到收敛点的迭代次数 16 16 16 17 17 19 0 19 17 12 14 14
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例1 函数 f (x, y) = y − sin x 与 g(x, a) = a − x ， 取a =3.1、初值为 、初值为(1.2,0) a=3.1;xn=1.2;yn=0; for n=1:100 xN=xn; yN=yn; xn=yN-sin(xN);yn=a-xN; plot(xn,yn,'k*'); axis([-5,7,-5,7]); hold on; pause(0.1); end; hold off
xn+1 =αxn (1− xn )
f (x) =αx(1− x) (0 ≤ x ≤1 )
称为Logistic映射 映射 称为
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7. Feigenbaum图 图 对于Logistic 映射，取a=2.5，我们通过离 映射， 对于 ， 散图形观察迭代的收敛情况。 散图形观察迭代的收敛情况。
syms x; f=inline('2.5*x*(1-x)'); x0=0.12; for i=1:1:10 换成2.5会怎样 ％x0换成 会怎样？进一步， 换成 会怎样？进一步， 此句前加上“ 此句前加上“if i>50”,后加 后加 plot(i,f(x0),‘.’); 上“end;” x0=f(x0); hold on; end; hold off
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6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6