高等数学下册 幂级数

第五节
幂级数
一、幂级数及其收敛性
二、幂级数的运算 三、幂级数的性质
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一、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列 为幂级数的系数 . 下面着重讨论 的情形, 即
称
1 , x 1 即是此种情形. 例如, 幂级数 x 1 x n 0
n
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当4 x2 1 当4 x2 1
( 2 n 1)(2 n 2) 2 2 4 x lim x n ( n 1 )2 时级数收敛 1 故收敛半径为 R . 2 时级数发散
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例4. 解: 令
R lim 1 an
的收敛域. 级数变为
1,
x0
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例8. 解: 设 S ( x )
n2

n2 1 ,

x
n
则
1 1 1 n S ( x) x n 2 2 n 1 n 1
x x n 1 1 x n 1 2 n 2 n 1 2x n 2 n 1 x xn 1 xn 2 n 1 n 2x n 3 n
S ( x) an x n nan x n 1 , x ( R , R )


0 S ( x) d x
n 0
x
n 0
n 1
x n an x 0
an n 1 x , xI dx n 0 n 1

证：下面证明逐项可导的结论 :


x x 1 x
n 1
n 1
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例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1

1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 .
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证毕
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由Abel 定理可以看出, 中心的区间.
n 0
an x

n
的收敛域是以原点为
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
则
因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !

S ( x)
S ( x) C e
x
由S (0) 1 得 S ( x) e x , 故得
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例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n

n a x 定理 1. ( Abel第一定理 ) 若幂级数 n n 0

则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 的一切 x , 该幂级数也发散 . 证: 设 收敛, 则必有 于是存在
常数 M > 0, 使
收敛 发散
发
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散
收
o
敛
发
阿贝尔 目录 上页
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发
散
收
o
敛
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发
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散
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x
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定理2. 若
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1) 若 ≠0, 则根据比值判别法可知:
因此级数的收敛半径 R
1
2) 若 0, 则根据比值判别法可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 R ; 3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,

.
因此 R 0 .
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收敛;
发散 .
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例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
an R lim n an 1
所以收敛域为 ( , ) . an lim n ! (2) R lim n an 1 n (n 1) ! 所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
an 1 x n 1 an 1 lim lim x n n n an an x
1 当 x 1, 即 x 时, 原级数绝对收敛; 当 x 1 , 即 x 1 时, 原级数发散.
lim 的收敛半径为 R n
1
n
an
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例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1 lim n 1 n n 1
an 解: R lim n an 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .

n 0
n 1 a x n a x n n , x ( R, R )
n n 1

再证级数
n an x
n 1 n 1
的收敛半径 R R.
n 1
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由前面的证明可知 R R. 若将幂级数
n 1 n a x n 在
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由比值判别法知级数
n 0 n 1 n 1 故 n q 收敛 , lim n q 0,
n 0
n
因此 n q
n 1
有界, 故存在 M > 0 , 使得
n 1 1 nq x 1
n 0
M
(n 1, 2 ,)
n 又 0 x1 R, 级数 an x1 收敛 , 由比较判别法可知
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1 x2 (x ) 2x 2
而
x x x n x n 1 dx n 1 n x dx x dx 1 x n 1 n 1 0 0 n 1 0

ln(1 x)
故
1 S 2
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及
的收敛半径分别为
R1 , R2 , 令 R min R1 , R2 , 则有 :

n 0 n a x n (为常数 )
n n
x R
x R x R
n 0
an x
n 0

n
bn x (an bn ) x ,
n 0 n 0
(n 0 ,1, 2 ,)

由Weierstrass判别法即知推论成立. 证毕 说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
区间包含此端点.
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定理6 . 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续与逐项积分，且在收敛区间内可 逐项求导，与运算前后收敛半径相同, 即
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级数 n an x n 1 收敛 .
n 1

因为幂级数 n an x n 1在 ( R, R) 内任一闭区间 [a, b]
n 1 n 0

n a x 上一致收敛, 故原级数 n 在[a, b]上满足定理4.3条件,
从而可逐项求导, 再由[a, b]的任意性 , 即知

数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 . 证: 设 r max{ a , b }, R a o b R x 则对[ a , b ] 上的一切 x , 都有
n a r 而 0 r R, 由阿贝尔第一定理 ，级数 n 绝对收敛 , n 0
an x n an r n
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 乘法运算.
b0 1, b1 1, b 0 , n 2 , 3, n
它们的收敛半径均为 R , 但是
1 x x2 xn
其收敛半径只是 R 1 .
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三、幂级数的性质
n a x 定理5. 若幂级数 n 的收敛半径 R > 0 , 则此级 n 0
散
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x
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an x
n
n an x0
x x n a n x0 n x0 x0
收敛,
n
n
当 x x0 时,
故原幂级数绝对收敛 .
也收敛,
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前
面的证明可知, 级数在点 x 0 也应收敛, 与所设矛盾, 故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切
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1 n! lim 1 n (n 1) !

0
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例3. 求幂级数
的收敛半径 . 收敛域？
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由 比值判别法求收敛半径.
[ 2 (n 1) ] ! 2 ( n 1) x 2 [ (n 1) ! ] u n 1 ( x) lim lim [ 2n] ! 2n n u n ( x ) n 2 x [n! ]
x

x
(0 x 1 及
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)
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S ( x)
而
(0 x 1 及
也可以由和函数的连续性得: ln (1 x) lim 1, x 0 x 1 ln(1 x) , x [1, 0) (0 ,1) x
)
S ( x)
an x n bn x n cn x n ,
n 0 n 0
其中
以上结论可用部分和 的极限证明 .
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说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比
原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设
( a0 1, an 0 , n 1, 2 , )
nk n ( n 1 ) ( n k 1 ) a x n nk (k 1, 2 ,) 其收敛半径都为 R .
S ( k ) ( x)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
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例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
lim1
n n
n n
1 2 n 2 n
当 t = 2 时, 级数为
当 t = – 2 时, 级数为
此级数发散;
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为
即 1 x 3 .
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二、幂级数的运算
定理4. 设幂级数

[0, x] ( x R) 上逐项积分 , 得 an x n , 因逐项积分所得
级数的收敛半径不会缩小, R R . 于是 R R . 证毕
n a x 推论. 幂级数 n 的和函数 S (x) 在收敛区间 n 0 n 1

(－R, R ) 内有任意阶导数, 且有
说明:据此定理
an 的收敛半径为 R lim n an 1
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定理3. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ; 3) 当 ＝∞时, R 0 .
提示：这个定理的证明与定理2的证明类似， 要利用柯西根值判别法.
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证: 先证级数 n an x n 1在 ( R, R)内收敛 .

x 任取 x ( R, R), 再取定 x1 , 使 x x1 R , 记 q 1, x1 x n 1 1 1 n 1 n n 1 n 则 n an x n an x1 n q an x1 x1 x1 x1