几何概型的常见题型及典例分析

几何概型的常见题型及典例分析

一.几何概型的定义

1．定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何

概率模型，简称几何概型．

2.特点:

（１）无限性,即一次试验中，所有可能出现的结果（基

本事件）有无限多个；

(2）等可能性,即每个基本事件发生的可能性均相等.

3

．计算公式:.)(积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随

机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.

4．古典概型和几何概型的区别和联系：

(１）联系:每个基本事件发生的都是等可能的.

(2)区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的

基本事件是无限的;

②两种概型的概率计算公式的含义不同.

二．常见题型

（一)、与长度有关的几何概型

例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 Ｃ.21 D ．3

2 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.

所取的数是区间]1,1[-的任意一个数,基本事件是无限多

个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件

的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，

符合几何概型的条件.

解:在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时，要使cos

2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322

x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3

2, 由几何概型知使cos 2

x π的值介于0到21之间的概率为 31232

===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P ． 故选A ．

例2、 如图两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，

想在其间再随意安装两盏路灯,问A 与与D 之间的距离都

不小于10米的概率是多少?

思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件,基

本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是

几何概型.

解 记 E ：“A 与与D 之间的距离都不小于1０米”,

把三等分,由于中间长度为30×3

1=10米， ∴313010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几

何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都

一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域

内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何

概型来求解．

例3、在半径为R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦

的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的

弦的长度不小于R 的概率。

思考方法:由平面几何知识可知，垂

直于弦的直径平分这条弦,所以,题

中的等可能参数是平行弦的中点,它

等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-１）。也就是说，样本空间所对应的区域G

是一维空间(即直线）上的线段，而有利场合所对应的区

图1-2图1-1

域是长度不小于Ｒ的平行弦的中点K 所在的区间。

［解法１].设与E 1F 1是长度等于R 的两条弦,直径垂直于

和Ｅ１F 1，与他们分别相交于K 和K 1(图１－２）。依题设

条件,样本空间所对应的区域是直径，有L(G)2R,注意到弦

的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区

域是1,有

1()2K L G KK OK ====

以几何概率公式得()()A L G P L G ===。 [解法2］.如图1-1所示，设园O 的半径为R ， 为诸平行

弦中的任意一条，直径⊥弦,它们的交点为Ｋ,则点K 就是

弦的中点。设,则 ｘ ∈[], 所以 L(G)=2R

设事件Ａ为“任意画的弦的长度不小于Ｒ”,则Ａ的有利

场合是 R ≥,

解不等式,得

x 2R ≤ 所以 ()22

A L G R ==

于是 ()22P A R =

= [评注] 本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参

数；样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直

接看出。两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知

识,在本题似较简便，解法2引进变量x 把代数知识和几

何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程不甚简便,

但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问

题。

例４、 在长为1２的线段上任取一点Ｍ,并以线段为边作

正方形,求这个正方形的面积介于362 与812之间的概率.

分析：正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化

为在１2长的线段上任取一点M,求使得的长度介于６与9

之间的概率．

解：记“面积介于362 与812之间”为事件A,事件A 的概

率等价于“长度介于6与9之间”的概率，所以,P （A)=

9612 =14

小结：解答本例的关键是，将正方形的面积问题先转化为与边长的关系。

练习:

２、已知地铁列车每10 一班,在车站停1 ,则乘客到达

站台立即乘上车的概率是( )

解析：设乘客到达站台立即乘上车为事件A ,试验的所有结

果构成的区域长度为10 ,而构成事件A 的区域长度为1 ,

故P (Ａ)＝．答案:A

3、已知集合A {－10}，在集合A 中任取一个

元素x ,则事件“ｘ∈A ∩B ”的概率是.

解析：由题意得Ａ={-1

概型知:在集合Ａ中任取一个元素x ,则x ∈Ａ∩B 的概率