斐波那契数列(1)

摘要

本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。

目录

绪论 (1)

论文提出的背景和价值及国内外研究动态 (1)

一斐波那契数列的提出 (2)

1.1 问题的引出 (2)

1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示 (3)

二斐波那契数列通项公式的推导 (3)

2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法 (3)

2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导 (4)

三斐波那契数列的部分相关性质 (5)

3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质 (5)

3.2 有关斐波那契数列的结论 (12)

四斐波那契数列的有关应用 (13)

4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例 (13)

4.2 运用斐波那契数列解决实际问题 (14)

绪论

论文提出的背景和价值及国内外研究动态

斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬•奇的《蒙娜丽莎的微笑》到生物学的“鲁德维格定律”……吸引了国内外许多学者去研究它。斐波那契数列在现代物

理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。

一斐波那契数列的提出

1.1 问题的引出

斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的。在1202年他所撰写的《珠算原理》（由于翻译差别，有多种中文译名）以兔子繁殖问题为例而引人，故称“兔子数列”。下面引述该问题：

一般的，兔子在出生一个月后就有繁殖能力。假设一对兔子（一雌一雄）每个月可繁殖出一对小兔子来，并且所有的兔子都不死，这样在笼中圈养一对有繁殖能力的兔子，那么一年后可以繁殖多少对兔子。

分析：

经过一个月，原来的大兔子繁殖了一对小兔子，小兔子没繁殖能力，大兔子一对，小兔子一对；

经过二个月，原来的大兔子继续繁殖了一对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有两对，小兔子一对

经过三个月，上个月大兔子繁殖了一共两对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有三对，小兔子两对；

……

依次类推列下表：

经过月数123456789101112小兔子对数1123581321345589144大兔子对数123581321345589144233兔子总对数23581324345589144233377

其中系列数字：1,1,2,3,5,8,13……构成了一个数列。这个数列有个明显的特点：前面两项之和等于第三项，即构成了后一项。

这个特点也说明了：每月的大兔子对数为上月的兔子总对数；每月的小兔子对数为上月的大兔子对数，即上上月的兔子总对数。

1.2 斐波那契额数列的定义 迭代表示

如果用n F 表示第n 个月后繁殖兔子的总对数，那么能够成一个一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……这个数列满足如下递推关系：

()⎩⎨

⎧≥===+=--为正整数n n F F F F F F n n n ,2,1

,02102

1 满足上式的数列就叫做斐波那契数列。

列昂纳多·斐波那契当时只提出了这样一个特殊的数列，并没有给出它的通项公式。在这个数列诞生三百年之后，16世纪由法国数学家比内用第二数学归纳法推出的：

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n

n n F 25121551。

这一结果揭示了一个有趣的事实：一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

以下介绍推导斐波那契额数列通项公式的方法。

二 斐波那契数列通项公式的推导

2.1 线性递归数列 线性递归方程及其特征方程的解法

递归数列的定义：对任何自然数n ，由递推关系()n k n k n k n a a a a ,,,21 -+-++=φ确定的

数列{}n a 叫做递归数列。

k 阶常系数线性递归方程定义：对数列{} ,2,1,0=n F n ，如果存在常数

n k k Q a a a a ,0,,,,21≠ 为定义在自然数集上的函数，使得

n n k k n k n k n Q F a F a F a F ++++=-+-++ 2211，（1）式

则称{}n F 为k 阶常系数线性递归数列，（1）式叫做{}n F 的k 阶常系数线性递归方程。当0=n Q 时，则称（1）式为{}n F 的k 阶常系数齐次线性递归方程。特别地，当k =2时，（1）式所对应的线性递归方程为 n n n F a F a F 2112+=++，（2）式

相应地，（2）式的特征方程为0212=++a x a x ，其解为特征根。

有通解定理：设21,x x 是方程0212=++a x a x 的两个根，那么方程的通解可以表示为：

（1） 当21x x ≠时，n n n x C x C F 2211+=；

（2） 当x x x ==21时，()n n nx C C F 21+=。其中的21,C C 是由初始值10,F F 所唯一确

定的常数。

2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导

斐波那契数列()⎩⎨⎧≥==+=--为正整数n n F F F F F n n n ,2,1

,0102

1，显然是一个2阶常系数齐次线性

递归数列。

利用特征方程：斐波那契数列的特征方程为12+=x x 。 解得特征根为： 2

5

1,25121-=

+=

x x 。 则n

n

n x C x C F 2211+=

将初始条件1,110==F F 代入上式，可以解得： 5

1,5121-==

C C 。 则⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n F 25125151， ,3,2,1,0=n .