人教高中数学B版必修二1.1.7柱锥台球体积课件(共34张PPT)
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一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
D/
D/
C/
A/
A/
B/
D
D
C
C
A
S
B
1
h5
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
C1
解:
V V A1 棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
13SA1B1C1 BB1
O
11a2 a 3 2
D
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
=1/3×1/2×2×4×3=4
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 1 ，
2
则它的体积是原来的（ B ）
（A） 1
5
（C） 1
16
（B） 1
（D）
8
1
32
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知
点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足
AP=C1Q，则四棱锥B－APQC 的体积是
（ B） （A） 1 V 2 （C） 1 V 4
（B） 1 V 3
（D） 2 V 3
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则
它的体积是Βιβλιοθήκη Baidu
3 5 5.
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个
球的体积是V，则这个正方体的体积
是
2 3V 3
.
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ D ）
（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）3 3 倍
祖暅原理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
一、柱体的体积（棱柱和圆柱）
柱体的体积
长方体的体积
柱体的体积
V柱体Sh
V圆柱r2h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
二、锥体的体积（棱锥和圆锥）
h’
h
S’
S’
s
s
V圆锥
1 3V圆柱
三、柱体与锥体的体积关系
S
1 2
a
h
h
a
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改 变它们的放置方法，观察改变前后的体积是 否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
1、两个等高的几何体 2、若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等。
等 体 积 法
等高、等截面面积（不受截面形状影响） 体积相等
23a3
3a3
2
练习1、已知直三棱柱底面的一边长为
2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为
4cm，求它的体积。
82
练习2、已知正四棱锥的都侧是面等边 三角形，它的斜高 3，为求这个正四
棱锥的体积。 4 2
3
练习3、圆台的上下底面半径和高的 比为1：4：4，母线长为10，求圆台 的体积。
224
练习4、(1)如果圆柱的底面半径不变， 要使它的体积扩大到原来的5倍，那 么需要把它的高扩大到原来的多少倍？
(方法2)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
C1
D
A1
A1
B1
C
B
D
C1
D
C
D1 A
A1
B1
B
D
B
A
B
V长方体 Sh
柱
祖暅原理
、 锥 、
V柱体Sh
V圆柱r2h
台 的 体
V锥体
1 3
S
h
V圆锥
1r2
3
h
积
V球
34V 台 R3体 1 3hV（ 圆S台 1 3ShS（ rS2） rrr2）
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
V柱=sh
V锥=？
3V锥体V柱体
V锥体 13V柱体 13Sh
V圆锥
1r2
3
h
三、台体的体积
S（下底面 S（ 积 上 ） 底 、 面 h（积 高
h/
S’
S’
h
s
s
V台体 1 3h（ S SSS）
V圆台 1 3h（ r2rrr2）
形 四、柱、锥、台体积关系
S’
S
S
S
数
V柱体=sh
S=S/V台h3(s
S/
ss's')
=0
V锥
1 sh 3
柱、锥、台体体积公式统一成
V台h3(s ss's')
五、球的体积
S1
R
V 球 1 3R1 S1 3R2 S1 3R3 S 1 3R球 S面
V球
4 R3
3
例1、在长方体ABCD-A/B/C/D/中，用截
面截下一个棱锥C-A/DD/，求棱锥C-
A/DD/的体积与剩余部分的体积之比。
(2) 如果圆柱的高不变，半径扩 大到原来的多少倍才能使它的体积扩 大到原来的5倍。
V圆柱r2h
练习
三棱锥的顶点为P,已知三条侧棱PA、 PB、PC两两垂直，若PA=2，PB=3， PC=4，求三棱锥P-ABC的体积V
解：以点B为顶点，则底面为Rt△APC,
∴v=1/3Sh =1/3S△PAC·PB
5 a3
A
6
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
D
5 a3 6
C B
求体积的方法
等体积法：它是通过选择合适的底面来求 体积的一种方法
例3、一个正方体的所有顶点都在球面上 （球的内接正方体）若正方体棱长为a， 求此球的体积。
解：由题意知，球的直径为正方体的
2a
体对角线
a
3a
由球的体积公式得
V34
8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，
母线长10，则圆台的体积为（ B ） （A）672π （B）224π
（C）100π （D） 5 4 4 3
思考:已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
(方法1)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？ C1
A1
B1
D
O
A
C B
练习3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1C.1
1 a3 6
（2）求：B1到平面A1BC1的距离？
B1
C B
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(3）多面体A1D1C1-ABCD的体积？D1
C1
解:
A1
V V A 1D 1C 1ABCD 正方 A 1B 1D 1 体 C 1ABCD
B1
V棱B 锥 A1B1C1
a31a3 6
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
D/
D/
C/
A/
A/
B/
D
D
C
C
A
S
B
1
h5
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
C1
解:
V V A1 棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
13SA1B1C1 BB1
O
11a2 a 3 2
D
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
=1/3×1/2×2×4×3=4
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 1 ，
2
则它的体积是原来的（ B ）
（A） 1
5
（C） 1
16
（B） 1
（D）
8
1
32
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知
点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足
AP=C1Q，则四棱锥B－APQC 的体积是
（ B） （A） 1 V 2 （C） 1 V 4
（B） 1 V 3
（D） 2 V 3
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则
它的体积是Βιβλιοθήκη Baidu
3 5 5.
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个
球的体积是V，则这个正方体的体积
是
2 3V 3
.
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的 体积扩大为原来的（ D ）
（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）3 3 倍
祖暅原理:幂势既同，则积不容异。
水平截面面积 + 高
体积
说明：
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体 积相等。
一、柱体的体积（棱柱和圆柱）
柱体的体积
长方体的体积
柱体的体积
V柱体Sh
V圆柱r2h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
二、锥体的体积（棱锥和圆锥）
h’
h
S’
S’
s
s
V圆锥
1 3V圆柱
三、柱体与锥体的体积关系
S
1 2
a
h
h
a
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改 变它们的放置方法，观察改变前后的体积是 否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
1、两个等高的几何体 2、若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等。
等 体 积 法
等高、等截面面积（不受截面形状影响） 体积相等
23a3
3a3
2
练习1、已知直三棱柱底面的一边长为
2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为
4cm，求它的体积。
82
练习2、已知正四棱锥的都侧是面等边 三角形，它的斜高 3，为求这个正四
棱锥的体积。 4 2
3
练习3、圆台的上下底面半径和高的 比为1：4：4，母线长为10，求圆台 的体积。
224
练习4、(1)如果圆柱的底面半径不变， 要使它的体积扩大到原来的5倍，那 么需要把它的高扩大到原来的多少倍？
(方法2)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
C1
D
A1
A1
B1
C
B
D
C1
D
C
D1 A
A1
B1
B
D
B
A
B
V长方体 Sh
柱
祖暅原理
、 锥 、
V柱体Sh
V圆柱r2h
台 的 体
V锥体
1 3
S
h
V圆锥
1r2
3
h
积
V球
34V 台 R3体 1 3hV（ 圆S台 1 3ShS（ rS2） rrr2）
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
V柱=sh
V锥=？
3V锥体V柱体
V锥体 13V柱体 13Sh
V圆锥
1r2
3
h
三、台体的体积
S（下底面 S（ 积 上 ） 底 、 面 h（积 高
h/
S’
S’
h
s
s
V台体 1 3h（ S SSS）
V圆台 1 3h（ r2rrr2）
形 四、柱、锥、台体积关系
S’
S
S
S
数
V柱体=sh
S=S/V台h3(s
S/
ss's')
=0
V锥
1 sh 3
柱、锥、台体体积公式统一成
V台h3(s ss's')
五、球的体积
S1
R
V 球 1 3R1 S1 3R2 S1 3R3 S 1 3R球 S面
V球
4 R3
3
例1、在长方体ABCD-A/B/C/D/中，用截
面截下一个棱锥C-A/DD/，求棱锥C-
A/DD/的体积与剩余部分的体积之比。
(2) 如果圆柱的高不变，半径扩 大到原来的多少倍才能使它的体积扩 大到原来的5倍。
V圆柱r2h
练习
三棱锥的顶点为P,已知三条侧棱PA、 PB、PC两两垂直，若PA=2，PB=3， PC=4，求三棱锥P-ABC的体积V
解：以点B为顶点，则底面为Rt△APC,
∴v=1/3Sh =1/3S△PAC·PB
5 a3
A
6
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
D
5 a3 6
C B
求体积的方法
等体积法：它是通过选择合适的底面来求 体积的一种方法
例3、一个正方体的所有顶点都在球面上 （球的内接正方体）若正方体棱长为a， 求此球的体积。
解：由题意知，球的直径为正方体的
2a
体对角线
a
3a
由球的体积公式得
V34
8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，
母线长10，则圆台的体积为（ B ） （A）672π （B）224π
（C）100π （D） 5 4 4 3
思考:已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
(方法1)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？ C1
A1
B1
D
O
A
C B
练习3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1C.1
1 a3 6
（2）求：B1到平面A1BC1的距离？
B1
C B
例2: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(3）多面体A1D1C1-ABCD的体积？D1
C1
解:
A1
V V A 1D 1C 1ABCD 正方 A 1B 1D 1 体 C 1ABCD
B1
V棱B 锥 A1B1C1
a31a3 6