概率统计习题课一

解：设A = { 取 到 的 两 个 都 是 次 品}，B={取到的两个中正、 次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}.
（1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22， 所以P（A）=4/36=1/9
（2）有利于事件B的基本事件数为4×2+2×4=16， 所以P（B）=16/36=4/9
第一章习题课
1.设事件A={甲种产品畅销，乙种产品滞销}， 则A的对立事件为（ ） ①甲种产品滞销，乙种产品畅销； ②甲、乙两种产品均畅销； ③甲种产品滞销； ④甲种产品滞销或者乙种产品畅销。
2（产 品 的 随机 抽 样 问 题） 例1 箱 中 有 6 个 灯泡，其 中 2 个 次 品4 个 正 品，有 放 回地 从 中 任 取 两 次， 每 次 取 一个，试求下 列 事 件 的 概率： （1） 取 到 的 两 个 都 是 次 品， （2）取到的两个中正、次品 各一个, （3）取到的两个中至少有一个正品.
生产的概率? 解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:
P( A1 | B)
P( A1 )P(B | A1 )
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,
由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,
P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
由全概率公式得:
3
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) =0.025
i 1
(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂
6 在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放 回抽样，每次一个，抽取两次，求 ①两次都取到次品的概率； ②第二次才取到次 品的概率； ③已知第一次取到次品，第二次又 取到次品的概率。
解：设A={第一次取到次品}，B={第二次取到次品}，
（1）P（AB）=(3×2)/(10×9) =1/15
（2）P（AB ）=(7×3)/(10 × 9)=7/30 （3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10)
=0.8×0.7×0.4=0.224
P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424
11 设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两 次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多 少？ 解：设A={第一次取得不合格品}，B={第二次取得 不 合格品}，
事件A和A的对立 事件构成完备事件组，由全概 率公式得：
16解: P(A|B)=1-P( A| B )=P(A| B ),
所以A,B相互独立.
3
=0.4
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
14 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为
0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多 少?
解: 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 ,A表示电路断电,
则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,
所以，P( B )=1-0.2=0.8
思考：在以上条件下，P(A-B)=？
4. 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不 发生的概率及P(A+B). 解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（AB ）=0.15，
5
• P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B).
• P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(s -AB)
• P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。
• A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等， P(A)=p，求P(B).
解：设A={甲机被击落}，B={乙机被击落}，B1={乙第一次被击落}， B2={乙机第二次被击落}，由题意得：B1.B2互B1斥，A, B1A B2,
B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A|B1 ）=0.3，P（B2| B1 A ）=0.4， 所以，P（A）=P（B1 A）=P（B1）P（A| B1 ）=0.8×0.3=0.24， P（B2）=P（B1 AB2）= P（B1）P（A |B1 ）P（B2|B1 A ）
则下列选项必然成立的是（( 1)）
①P(A)<P(A|B)
②P(A)≤P(A|B)
③P(Leabharlann Baidu)>P(A|B)
④P(A)≥P(A|B)
9 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P(( -B)|A)=0.4,则
P(B)=( 0.6 ).
10 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2； 若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被 击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中 甲、乙被击落的概率。
若改为有放回抽样呢？
7 已知 0＜P（B）＜1，且
P{(A1+A2)|B}=P(A1|B)+P(A2|B)
记C= s -B ,则下列选项成立的是（（2） ）
①P{(A1+A2)|C}=P(A1|C)+P(A2|C) ②P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B) ③P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B) ④P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 8 设事件A是B的子事件1> P(B)＞0，
则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
P（A+B）=1-P（A B）=1-P（AB ）=0.85 又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以， P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35 从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25
P ( A | B ) + P ( A | B ) = 1 , 则（ ） ① A和B互不相容 ② A和B互相对立 ③ A和B互不独立 ④ A和B相互独立
15解:(1)设A=甲中,B=乙中,C=目标被击中, 所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
=0.6/0.8=3/4
（3）有利于事件C的基本事件数为62-2×2=32，P（C）=32/36=8/9
注意①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢？
3
• AB=φ，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件 的概率。
解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
P(A)=P(A1+A2+A3)= 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-0.168=0.832
15 甲、乙两人独立地对同一目标射击一 次，其 命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则 它 是甲击中的概 率为( ) 16 设 0 < P ( A ) < 1 , 0 < P ( B ) < 1 ,
解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3
(2)P(s -AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=1-0.7+0.3=0.6
(3)P(ABC )=P( A B C )=1-P(A+B+C)=7/12
(4)P(AB)=P(AB )=P(A B )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
=（4/10）×（3/9）+（6/10）×（4/9）
= 6/15
12 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲
厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品 率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.
生产的概率?
分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的 Bayes公式.
13 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:
甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率
为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率. (2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂