04多目标规划方法

但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如： ①根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的 产量不应大于乙种产品的产量。 ②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。 ③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。 ④应尽可能达到并超过计划产值指标56元。
显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、
⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们
就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。
所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
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二、多目标规划的非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大 或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托 解）。
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一、多目标规划及其非劣解
max(min)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min)
f2(X
)
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
(
X
)
2
(
X
)
G
g2
m
(
X
)
gm
（1.1） （1.2）
式中： X [x1, x2 , , xn ]T 为决策变量向量。
（2.12）
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.13）
f min j
fj
f
max j
(
j
2,3,
,k)
采用矩阵wenku.baidu.com记为：
（2.14）
max(min)Z f1( X )
（2.15）
(X ) G
（2.16）
F min 1
F1
F max 1
（2.17）
四、目标规划模型
3 目标规划方法
通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划 问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper） 于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（ U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划 问题的一般性方法——单纯形方法。
这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可 以运用目标规划方法进行求解。
目标规划模型的有关概念
为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。
1.偏差变量
在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 、 。 其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值 未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有
成立。
目标规划模型的有关概念
2、绝对约束和目标约束 绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问 题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可 行解，所以它们是硬约束。 目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目 标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差 ，可加入正负偏差变 量，是软约束。 线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以 转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。
(
X
)
2
(
X
)
0
m
(
X
)
0
（2.21） （2.22）
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目
标 fi*(i 1, 2, , k) ,每一个目标对应的权重系数为 wi (i 1, 2, , k)
，再设 为一松弛因子。那么，多目标规划问题（2.21）～（2.22
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小）， 而不顾其它目标。
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二、多目标规划的非劣解
非劣解：可以用图1.1说明。
图1.1 多目标规划的劣解与非劣解
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二、多目标规划的非劣解
在图1.1中，就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标 值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，
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大纲
多目标规划及其求解技术简介 目标规划方法 多目标规划应用实例
1 多目标规划及其非劣解 多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式：
min Z f (d , d ) （3.6）
目标规划模型的有关概念
b) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能
小，即
min Z f (d )
（3.7）
c) 要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，
即
min Z f (d )
（3.8）
在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入正、负偏差变量和目标约 束，并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立 模型。
本节主要内容： 目标规划模型 求解目标规划的单纯形方法
一、目标规划模型
（一）基本思想 ： 给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总 的偏离目标值的偏差最小。
（二）目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中 ，甲、乙两种产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、乙两种产品需 要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1台时 和2台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10台时。试 问：如何确定其生产方案？
也需要预先确定各个目标的期望值 fi ，同时给每一个目标赋予一个优 先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级 (L K )，目标规划模型
的数学形式为：
L
K
min Z
pl
(lk dk
lk
d
k
)
l 1 k 1
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m)
fi di di fi (i 1, 2, , K ) 式中：di 和 di 分别表示与 fi 相应的、与 fi* 相比
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2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为 单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。
一、效用最优化模型 二、罚款模型 三、约束模型 四、目标规划模型 五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算 。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间 通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
目标规划模型的有关概念
3.优先因子（优先等级）与权系数
一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是 有主次或轻重缓急的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 p1，次位的 目标赋予优先因子p2 ，……，并规定 pl pl1(l 1, 2, , L) 表示 pl1比 pl 有更大的优先权。这就是说，首先保证 p1 级目标的实现，这时可以不考虑 次级目标；而 p2 级目标是在实现 p1 级目标的基础上考虑的；依此类推。 若要区别具有相同优先因子 p1的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的 权系数 lk (k 1, 2, , K ) 。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况 而定。
min Z
p1d1
p2
(d
2
d
2
)
p3d3
k
式中，诸 应满足：
i 1
i 1
若采用向量与矩阵 max T
(X ) G
（2.5） （2.6） （2.7）
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi 之间的偏差来选择问题的解，其数学表
达式如下：
k
min Z ai ( fi fi )2 i 1
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
（2.18） （2.19） （2.20）
pl 表示第l个优先级；
lk
、lk
表示在同一优先级 pl
中，不同目标的正、负偏差变量的权系
数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1( X )
min
F
(x)
min
f2
(
X
)
fk
(
X
)
1( X ) 0
max Z ( X ) （2.1）
(X ) G
（2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各
目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
（2.3）
i (x1, x2, xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.4）
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该 目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则 该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：
max(min)Z f1(x1, x2 , , xn )
对于线性多目标规划问题，（1.3）和（1.4）式可以进一步用矩阵
表示：
max(min)Z AX
（1.5）
BX b
（1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
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二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
）就转化为：
min X ,
（2.23）
fi ( X ) wi fi* (i 1, 2, , k) （2.24）
j ( X ) 0 ( j 1, 2, , m)
（2.25）
用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系 统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见教材 的配套光盘。
例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首 先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有 限台时，不加班；再次是产值不小于56元。并分别赋予这三个目标优先
因子 P1, P2 , P3 。试建立该问题的目标规划模型。
解：根据题意，这一决策问题的目标规划 模型是
（2.8）
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.9）
或写成矩阵形式：
min Z (F F )T A(F F )
(X ) G
式中， ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i 1, 2, , k) 组成的m×m对角矩阵。
（2.10） （2.11）
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一、多目标规划及其非劣解
如果将（1.1）和（1.2）式进一步缩写， 即：
max(min)Z F ( X )
（1.3）
(X ) G
（1.4）
式中：Z F ( X ) 是k维函数向量，k是目标函数的个数； ( X ) 是m维函数向量； G 是m维常数向量；m是约束方程的个数。
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一、多目标规划及其非劣解
如果决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，则这个企业的生产方
案可以由如下线性规划模型给出：求 x1 ，x2 ，使
而且满足：
max z 8x1 10x2
2x1 x1 2
x2 x2
11 10
x1, x2 0
（3.1）
（3.2） （3.3） （3.4）
式中：和为决策变量，为目标函数值。将上述问题化为标准后，用单纯形 方法求解可得最佳决策方案为 x1 4, x2 3, Z 62 （万元）
多目标规划方法 Multi-objective Programming
背景介绍
在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经 济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问 题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理 学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
目标规划模型的有关概念
4.目标函数
目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量 和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标 值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是：
基本形式有三种：
min Z f (d , d ) （3.5）
a) 要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即