概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分

第六章 弯曲变形
§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 用积分法求梁的挠度与转角 §6–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–5 梁的刚度校核 §6–6 简单超静定梁的求解方法
§6－１ 概 述
齿轮传动轴的弯曲变形 轧钢机（或压延机）的弯曲变形
本章的主要内容：
介绍梁的弯曲变形，寻求确定梁弯曲变形 的基本方法；
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
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P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
EIw1
EI1
P 2
x12
C1
EIw
P 6
x13
C1 x1
D1
BC段
2EIw2 Px2 Pa
2EIw2
2 EI 2
P 2
x22
Pax2
C2
2EIw2
P 6
x23
Pa 2
x22
C2 x2
D2
确定积分常数
边界条件：当 x2 a 时， 2＝0，w2 0
求得
C2
3 2
Pa
2
,
D2
5 Pa3 6
连续性条件：在 x1 a, x2 0 处， 1 2 , w1 w2
求得
C1
5 4
Pa2 , D1
3 2
Pa 3
写出AB段的转角方程和挠曲线方程
EI1
P 2
x12
5 4
Pa 2
EIw1
P 6
x13
5 4
Pa2 x1
3 2
Pa 3
自由端的转角、挠度为
A
1
x1 0
5 4EI
Pa 2
wA
w1
x1 0
y
P L
B
x
B wB
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w(x) Px2 (x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
B
PL2 2EI
（）
wmax
wB
PL3 3EI
（
）
题二、解： 建立坐标系并写出弯矩方程
M
(
x)
0
P(a
x1
)
(0 x1 a) (a x2 L)
写出挠曲线微分方程并积分
1
( x)
d 2w dx2
dx
y
M<0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
0
x
o
d2w dx2
M (x) EI
(2)
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M
(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
3 2EI
Pa 3
（） （）
§6-4 按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1P2 Pn ) 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn ) w(P1P2 Pn ) w(P1) w(P2 ) w(Pn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
解、载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表(表 P
6.1)查简单载荷引起的变形。
=
A
B
+
PA
Pa2 4EI
wPC
Pa3 6EI
A
q B
qA
qa3 3EI
1 2
C2
Pa 2 2
w1 w2
D2
Pa3 6
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w( x1 )
Px12 6EI
(3a
x1)
Pa 2 w(x2 ) 6EI (3x2 a)
最大挠度及最大转角
max
C
CB
Pa2 2EI
wmax
wB
Pa2 6EI
(3L a)
d2w dx2
M (x) EI
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。
④优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程； 缺点：计算较繁。
§6–3 用积分法求梁的挠度与转角
例1 求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。
(x2 )
dw(x2 ) dx2
Pa 2 2EI
y
a
P
C
Bx
C wB
L
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
P
EI
2EI
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
A x1
B x2 C
a
a
AB段 (0 x1 a)
M 1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分
AB段 EIw1 M1 Px1
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x) P(L x)
x
写出挠曲线微分方程并积分
EIw M (x) P(L x)
EIw P x2 PLx C 2
EIw P x3 PL x2 Cx D 62
确定积分常数
当 x 0 时，
A wA 0， wA 0
求得：
C 0; D 0
梁的刚度计算；
求解简单超静定梁。
一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xy平面内的光滑曲线，该
曲线称为挠曲线， w =f (x) —— 挠曲线方程。
二、梁变形的两个基本位移量
yx
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线
P x
方向的线位移，用w表示。规定：
w
w （＋）， w (－）。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的
讨论题：指出下列梁的边界条件。
q
q
A
A
B
a
l
a
B L
连续性条件: 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。 若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。
A
C
B
A
C
B
（图a）
（图b）
对上述梁：
边界条件： wA 0, wB 0
连续性条件： wC左 wC右 , C 左 C 右
挠曲线近似微分方程
角度，用 表示。规定： （＋）， (－）。
三、转角与挠度的关系：
tg dw
小变形
dw (1)
dx
dx
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
y
M>0
1M
EI
1 M (x)
(x) EI
d2w
o
d2w dx2
0
x
1
(x)
[1
(
dx2 dw ) 2
]3
/
2
小变形
EI
dw dx
EI
(x)
M
(
x)dx
C
EIw(x) M (x)dx dx Cx D
式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。
2.边界条件和连续性条件
边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。
P
P
A
C
B
D
例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；
悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。