高等代数复习1

第七章：线性变换

一．线性变换的概念

1．线性变换的定义；

2．线性变换的运算；

3．线性变换的矩阵（坐标；不同基下的矩阵；运算）

二．线性变换的矩阵的化简

1.不变子空间（分块对角阵）；

2.值域与核空间（维数定理；单射、满射；是直和的充分必要条件；计算）

3.特征子空间（特征多项式、特征值和特征向量；可对角化问题，计算）

4.根子空间（Hamilton-Cayley定理；根空间分解定理）

三．相似矩阵

1．两矩阵相似的必要条件；

2．两矩阵相似的充分必要条件；

3．矩阵可相似对角化的充分必要条件

a).线性无关特征向量的个数；

b).最小多项式（化零多项式；计算）；

c).Jordan标准形；

4．应用

四．线性变换的可对角化的充分必要条件

1.矩阵可相似对角化；

2.线性无关特征向量的个数；

3.最小多项式有无重根；

4.有无重根的化零多项式；

5.几何重数与代数重数的关系；

6.线性空间可分解成特征子空间的直和

第八章λ-矩阵

一．λ-矩阵的初等变换及其等价关系

1．λ-矩阵的等价标准形及不变因子；

2．λ-矩阵的行列式因子和不变因子；

3．λ-矩阵的初等因子及初等因子组；

4．对角阵及分块对角阵。

二．两矩阵相似的充要条件

1．相应的λ-矩阵的是等价的；

2．行列式因子，不变因子及初等因子组相同；

3．Jordan标准形相同

三．矩阵的Jordan标准形

1．据初等因子组计算；

2．矩阵的Jordan标准形的计算；

(1)特征多项式、最小多项式、秩、行列式等；

(2)初等因子组

四．Jordan标准形的应用

1.研究矩阵的性质；

2.研究线性变换的性质

第九章欧几里德空间一．Euclid空间的概念

1.内积；

2.度量矩阵；

3.向量的长度、单位向量；

4.向量间的正交性；

5.典型的例子

6.Cauchy不等式；

7.三角不等式；

8.勾股定理

三．标准正交基概念

1．(标准)正交向量组；

2．为什么要谈标准正交基

3. 求标准正交基的Schmidt正交化方法；

4. 可逆矩阵的R-T分解

四．正交矩阵

1．定义及判别方法；

2．简单性质；

3．标准正交基间的过渡矩阵为正交矩阵；

4．正交变换在标准正交基间下的矩阵；

5．正交变换化二次型为标准形

五．正交补空间概念

1.概念及性质；

2.向量在一子空间上的正投影；

3.向量到子空间的距离

六．正交变换

1． 正交变换的概念；

2． 线性变换是正交变换的充要条件； 3． 镜面反射（几何）

七．用正交矩阵将实对称矩阵化为对角阵

1． 计算；

2． 实对称矩阵：标准形；特征值与惯性指数、正定性的关系；

第十章

双线性函数

一． 线性函数

1． 线性函数的定义； 2． 对偶空间和对偶基

二． 双线性函数

1． 双线性函数的定义 2． 度量矩阵

3． （反）对称双线性函数

例1． 假设22

C

⨯是复22⨯矩阵全体在通常的运算下所构成的线性空间，矩阵

1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。记1121122210000100,,,00100001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。

定义22

C

⨯上的变换f 如下：22(),f X AX X C ⨯= ∀∈。

1. 证明：f 是22

C ⨯上的线性变换；

2. 求f 在22

C

⨯的基11211222,,,E E E E 下的矩阵M ；

3. 求f 的特征值以及相应的特征子空间的基；

4. 问：是否存在22

C

⨯的基使得f 的矩阵为对角阵？为什么？

例2． 22

C ⨯上的线性变换f 定义如下：对任意22a b X C c d ⨯⎛⎫=∈ ⎪

⎝⎭

， ()a b c d f X c d a b --⎛⎫

= ⎪--⎝⎭

1. 求f 在22

C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵；

2. 求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组基及它们的维数；

3. 问：22

()()C

R f K f ⨯=⊕是否成立？为什么？

例3． 假设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=10052

2111A ，求60100A A -。 例4． 已知A 是n 阶可逆矩阵。证明：1

A -可以表示成关于A 的多项式。

例5． 已知n 阶方阵A 满足O E A A =+-652

，且r E A r =-)2(。求)det(E A +。 例6． 设B A ,分别是s 和t 阶矩阵，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=B A M 。证明：M 相似于对角阵⇔B A ,均相似于对角阵。

例7． 设n 阶方阵B A ,均相似于对角阵，且BA AB =。证明：存在可逆阵P 使得BP P AP P 11,--都是对角阵。

（推广到多个矩阵的情形） 例8． 已知52)3()2()(--=λλλc ，2)3)(2()(--=λλλm 。求Jordan 标准形。 例9． 已知7)2()(-=λλc ，3)2()(-=λλm ，4)2(=-E A r 。求Jordan 标准形。 例10． 已知7)2()(-=λλc ，3)2()(-=λλm ，4)2(=-E A r 。求行列式因子，不

变因子及初等因子组。

例11． 设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=502613803A 。求Jordan 标准形、行列式因子、不变因子及初等因子组。

例12． 已知矩阵A 的特征多项式与最小多项式相等，均为40)(λλ-，试求A 、2

A 可

能的Jordan 标准形。

例13． 假设βα,是n 维列向量，T

A αβ=。试讨论它的Jordan 标准形。

例14． 已知矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=100000010J 。判断下列矩阵是否与J 相似，并说明你的理由：

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011011000,16347011011,1130101

1

,243001001D C e

B A π

例15． 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k A 00210321与⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=b d e c a B 0500相似，问：数k e d c b a ,,,,,应满足什

么条件？

例16． 假设154000013,300002140A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。证明：矩阵方程2X A =有解，但2

Y B

=