第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）

一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌

握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.

三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：

1 新课引入

由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组

dY

AY dx

= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.

由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵

1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换

Y TZ = (3.21)

其中()(,1,2,

,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为

1dZ

T ATZ dx

-= (3.22) 我们知道，约当标准型1

T AT -的形式与矩阵A 的特征方程

11121212221

2

det()0n

n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ

---=

=-

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵

A 的特征根.

下面分两种情况讨论.

(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,

,,n λλλ这时

12

1

00

n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

方程组(3.20)变为

11122

200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(3.23)

易见方程组(3.23)有n 个解

1110(),00x

Z x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),

,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解

12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(1,2,,)i n =

这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组

()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为

它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到

定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且

12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则

121122(),(),,()n x x x

n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===

是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组

353dx

x y z dt dy

x y z dt dz

x y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩

的通解.

解 它的系数矩阵是

311151313A -⎡⎤

⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

特征方程是

311det()1

5103

1

3A E λ

λλλ

---=---=--

即 32

1136360λλλ-+-=

所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量

1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

,,a b c 满足方程

1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即

0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪

-+-=⎨⎪-+=⎩

可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是

110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

故方程组的通解是

236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组

dY

AY dx

= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是