高考专题复习--极坐标与参数方程(极品课件系列)
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4 设点 P 在曲线 sin 2 上，点 Q 在曲线 2cos 上，求| PQ | 的最小值．
【解析】以极点为原点，极轴所在直线为 x 轴建
立 直 角 坐 标 系 . 将 曲 线 sin 2 2 与 曲 线 2cos 分别化为直角坐标方程，得直线方程
y 2 ，圆方程 (x 1)2 y2 1 ．所以圆心（－1，0）
，（θ为参数）.表示的曲
y 3 sin
线为 C， （1）求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小
值
（2）点 P 为曲线 C 上的动点，当|OP|最小时(O 为坐标原点)，求点 P 的坐标。
考点三：能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程及极坐标方程
3. 已 知 椭 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
2
12
3 cos2 4 sin 2
，点
F1、F2 为其左，右焦
点，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2 (t 为参数，t
y
2t 2
∈R)． （Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.
考点四：能给出简单图形（如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程: xyrrcsions(为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程: xyabrrcsions(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
例
5．（江苏省南通市
2008-2009）求直线
x y
1 1
2t,（t 2t
为参数）被圆
x
y
3cos 3 sin
,
（α为参数）截得的弦长．
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位 置关系，利用圆心距与半径求出弦长。
4．两曲线的位置关系
例
6．（08
海南、宁夏理）已知曲线
Biblioteka Baidu
4 cos
≥ 0，0 ≤
π 2
，求曲线
C1
与
C2
交点的极坐标
2．由极坐标求最值
例3．（2009大丰市）已知A是曲线 ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线 ρcosθ=1距离的最大值和最小值。
分析：可以把极坐标方程转化为普通方程， 再结合图形解答问题。
评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两 曲线位置关系的重要方法。
到直线距离为 2，|PQ|的最小值为 2－1＝1
1．直接求解
例 1．在极坐标系中，过圆 =6cos 的圆心，且垂
直于极轴的直线的极坐标方程
分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线， 再得到极坐标方程。
例 2．（08 广东卷理 13）已知曲线 C1，C2 的极坐标
方 程 分 别 为 cos 3 ，
本课的重点：（1）参数方程与 普通方程的互化；一般要求是把参数 方程化为普通方程；较高要求是利用 设参求曲线的轨迹方程或研究某些最 值问题；（2）极坐标与直角坐标的 互化。
重点方法：<1>消参的种种方法； <2>极坐标方程化为直角坐标方程的 方法；<3>设参的方法。
坐标系与参数方程在高考中根据我省的情况是 选考内容，是10分的解答题之一，与不等式选讲和 几何证明等三个选修模块进行三选一解答，知识相 对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根 据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系 选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线 的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些 问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我 们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算 简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、 参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间 的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关 的距离问题，交点问题和位置关系的判定。
用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t， 在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起 来。
说明一：、 参数 t 的有关性质
对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
C1：
x y
cos，（ sin
为参数），
曲线
C2：
x
2t 2
y
2 2
2，
（t 为参数）．
（Ⅰ）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （Ⅱ）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲
线 C1，C2 ．写出 C1，C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其 中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度 单位与原直角坐标系的长度单位相同。
4.椭圆
x2 a2
by22
1(ab0)
的参数方程为:
xyabcsions(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 的互化
1. 求 直 线
x
1
4 5
t
y
1
3 5
t
（
t为参数
）被曲线
2 cos( ) 所截的弦长.
4
考点二：了解参数方程和参数的意义．
x 1 cos
2.设方程
例 4．（2008 盐城市）在极坐标系中,设圆 3 上的
点到直线 cos 3 sin 2 的距离为 d ,求 d 的
最大值.
分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通 方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意 一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普 通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点 到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆 心到直线的距离利用数形结合的思想解答。
C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
【解析】以极点为原点，极轴所在直线为 x 轴建
立 直 角 坐 标 系 . 将 曲 线 sin 2 2 与 曲 线 2cos 分别化为直角坐标方程，得直线方程
y 2 ，圆方程 (x 1)2 y2 1 ．所以圆心（－1，0）
，（θ为参数）.表示的曲
y 3 sin
线为 C， （1）求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小
值
（2）点 P 为曲线 C 上的动点，当|OP|最小时(O 为坐标原点)，求点 P 的坐标。
考点三：能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程及极坐标方程
3. 已 知 椭 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
2
12
3 cos2 4 sin 2
，点
F1、F2 为其左，右焦
点，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2 (t 为参数，t
y
2t 2
∈R)． （Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； （Ⅱ）求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.
考点四：能给出简单图形（如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程: xyrrcsions(为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程: xyabrrcsions(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
例
5．（江苏省南通市
2008-2009）求直线
x y
1 1
2t,（t 2t
为参数）被圆
x
y
3cos 3 sin
,
（α为参数）截得的弦长．
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位 置关系，利用圆心距与半径求出弦长。
4．两曲线的位置关系
例
6．（08
海南、宁夏理）已知曲线
Biblioteka Baidu
4 cos
≥ 0，0 ≤
π 2
，求曲线
C1
与
C2
交点的极坐标
2．由极坐标求最值
例3．（2009大丰市）已知A是曲线 ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线 ρcosθ=1距离的最大值和最小值。
分析：可以把极坐标方程转化为普通方程， 再结合图形解答问题。
评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两 曲线位置关系的重要方法。
到直线距离为 2，|PQ|的最小值为 2－1＝1
1．直接求解
例 1．在极坐标系中，过圆 =6cos 的圆心，且垂
直于极轴的直线的极坐标方程
分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线， 再得到极坐标方程。
例 2．（08 广东卷理 13）已知曲线 C1，C2 的极坐标
方 程 分 别 为 cos 3 ，
本课的重点：（1）参数方程与 普通方程的互化；一般要求是把参数 方程化为普通方程；较高要求是利用 设参求曲线的轨迹方程或研究某些最 值问题；（2）极坐标与直角坐标的 互化。
重点方法：<1>消参的种种方法； <2>极坐标方程化为直角坐标方程的 方法；<3>设参的方法。
坐标系与参数方程在高考中根据我省的情况是 选考内容，是10分的解答题之一，与不等式选讲和 几何证明等三个选修模块进行三选一解答，知识相 对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根 据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系 选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线 的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些 问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我 们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算 简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、 参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间 的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关 的距离问题，交点问题和位置关系的判定。
用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t， 在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起 来。
说明一：、 参数 t 的有关性质
对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
C1：
x y
cos，（ sin
为参数），
曲线
C2：
x
2t 2
y
2 2
2，
（t 为参数）．
（Ⅰ）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （Ⅱ）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲
线 C1，C2 ．写出 C1，C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其 中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度 单位与原直角坐标系的长度单位相同。
4.椭圆
x2 a2
by22
1(ab0)
的参数方程为:
xyabcsions(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 的互化
1. 求 直 线
x
1
4 5
t
y
1
3 5
t
（
t为参数
）被曲线
2 cos( ) 所截的弦长.
4
考点二：了解参数方程和参数的意义．
x 1 cos
2.设方程
例 4．（2008 盐城市）在极坐标系中,设圆 3 上的
点到直线 cos 3 sin 2 的距离为 d ,求 d 的
最大值.
分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通 方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意 一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普 通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点 到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆 心到直线的距离利用数形结合的思想解答。
C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．