利萨如图形的应用
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还须知道 才能完全决定系统的运动状态。
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
可得： cos x ; sin v （3）
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。
14
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
6
二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2 个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
7
3. 振幅
二、简谐振动的几个例子
1. 弹簧振子
如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
f x kx
由牛顿第二定律：
mx kx x k x 0 m
令 k 2 ，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：
m
x 2 x 0 （1）
1
x 2 x 0 （1）
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴 垂直纸面向外，Mz mga sin I ， 很小时： sin ，故：
因此，
mga 0
I
02 0，
0
mga I
4
4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 x（例：长度，角度，电量等）的变化规 律满足方程⑴式，且常量 0 决定于系统本身的性质，则
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
l
nˆ
若 很小，则近似：sin ,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
3
3. 复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
该物理量作简谐振动。 判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
5
§9.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数， 故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
定义：物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
8
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
11
例1
一弹簧振子，t＝0
时，
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
12
例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解： x cos(0t )
0
t
2
Asin0t
a x A02 cos0t A02 cos0t
t=0时A，为矢一量长度与不坐变标的轴矢的量夹，角为A的始，点矢在量坐A标以轴角的速原度点处0 ，逆记时时针起匀点速
转动。
15
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
A
cos
0t
2
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
x
0
的形式，且其中
0决
定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
2
2. 单摆
建立自然坐标系：(ˆ , nˆ )
ˆ : mg sin
ma
m dv dt
ml
d
A
A0
9
若已知初始条件：t =0时， x x0 , v v0x ，则⑶式有：
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
10
相位差：两振动相位之差(1 2 ) 。
讨论：
（1）若(1 2 ) 2k 是2 的整数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) k 是 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 2 ) 0，则称 1 超前 2 ； （4）若 2 (1 2 ) ，则称 1 落后 2 ；
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。
13
总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相
0t 叫简谐振动的相位。
当 t 0 时， 叫初相位。
由：
x Acos(0t ) Acos v A0 sin(0t ) A0 sin
可得： cos x ; sin v （3）
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。
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四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
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二、描述简谐振动的物理量
1. 周期（T）
完成一次全振动所用的时间： T 2
对弹簧振子： T 2 2 k
m
2. 频率（）
单位时间内完成的全振动的次数：
1 2 T 2
的含义： 2 个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。
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3. 振幅
二、简谐振动的几个例子
1. 弹簧振子
如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点 （即平衡位置），x 表示位移：
f x kx
由牛顿第二定律：
mx kx x k x 0 m
令 k 2 ，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：
m
x 2 x 0 （1）
1
x 2 x 0 （1）
之间的距离是a。选 角增加的方向为正方向，即：z 轴 垂直纸面向外，Mz mga sin I ， 很小时： sin ，故：
因此，
mga 0
I
02 0，
0
mga I
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4. L-C振荡回路（详见《电磁学》）
总结：
任何物理量 x（例：长度，角度，电量等）的变化规 律满足方程⑴式，且常量 0 决定于系统本身的性质，则
dt
ml
nˆ : T mg cos m v2
l
nˆ
若 很小，则近似：sin ,则： l 0
g
因此，
02
0，
2 0
l g
（2）
上式即为单摆简谐振动的动力学方程
3
3. 复摆（物理摆）
任何物体悬挂后所做的摆动叫复摆。如图示：
一刚体悬挂于O 点，刚体的质心C 距刚体的悬挂点O
该物理量作简谐振动。 判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式⑴。
5
§9.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
方程
d2x dt 2
02
0 的解为：
x Acos(0t ) （1）
上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数， 故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
定义：物体离开平衡位置的最大位移。
振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，x x0 , v v0x
由⑴式可得：
x0 Acos , x t0 v A0 sin
因此，
A
x02
v02x
2 0
（2）
8
4. 位相和初位相
振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，
相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。
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例1
一弹簧振子，t＝0
时，
x0
1 2
A, v0
0
求振动的初位相。
解：
cos x0 1
A2
sin v0x 0 A0
因此，
在第一象限，＝
3
12
例2 讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。
解： x cos(0t )
0
t
2
Asin0t
a x A02 cos0t A02 cos0t
t=0时A，为矢一量长度与不坐变标的轴矢的量夹，角为A的始，点矢在量坐A标以轴角的速原度点处0 ，逆记时时针起匀点速
转动。
15
由此可见：
⑴匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方 程。
⑵矢端的速度大小为 0 A ，在x 轴上的投影为：
0
A
cos
0t
2
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
x
0
的形式，且其中
0决
定于振动系统本身的性质。⑴式的形式就是简谐振动的动力学方程式。
2
2. 单摆
建立自然坐标系：(ˆ , nˆ )
ˆ : mg sin
ma
m dv dt
ml
d
A
A0
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若已知初始条件：t =0时， x x0 , v v0x ，则⑶式有：
cos x0 ; sin v0x
A
A0
tg v0x 0 x0
( )
（4） （5）
⑷、⑸式中的任意二个即可确定初位相。
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相位差：两振动相位之差(1 2 ) 。
讨论：
（1）若(1 2 ) 2k 是2 的整数倍，则振动同相位； （2）若 (1 2 ) k 是 的奇数倍，则振动相位相反； （3）若 (1 2 ) 0，则称 1 超前 2 ； （4）若 2 (1 2 ) ，则称 1 落后 2 ；
所以：速度的位相比位移的位相超前 / 2；
加速度的位相比速度的位相超前 / 2 ； 加速度的位相比位移的位相超前 。
理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。
13
总结：
⑴简谐振动是周期性运动；
⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 0 及初相位 决定，
或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相