1质点动力学

d s m 2 F dt (4) v2 m Fn

（四）质点运动微分方程及动力学基本问题
两类问题 ：动力学正问题与反问题 ?
动力学正问题：已知力, 求运动。 动力学反问题：已知运动, 求力。
机械臂动力学反问题：如臂架泵车、臂架升降机。
因为动力学反问题的多解性 (或解的不唯一性 )，要 比正问题复杂得多。
惯性参考系：使牛顿定律成立的参考坐标系。
牛顿定律是在假想的绝对静止的坐标系提出的。宇宙空间不存在一 个绝对静止的物体，因此也找不到绝对精确的惯性参考系。实际应用中 是根据工程精度要求选择近似精确的坐标系作为惯性参考系。 什么样的坐标系可以作为惯性坐标系?
地面坐标系：对运动范围不大的物体，如交通运输工具、起重
3. 牛顿第一定律(惯性定律)的意义：
不受力作用的质点，将永远保持静止或匀速直线运动。 力不是维持物体运动的原因。物体惯性的大小，表示物 体保持原来运动状态本领的强弱。
第一定律指出：不受其它物体作用(不受力)的质点在其中 静止或作匀速直线运动的参照系，就是惯性系。 第一定律的重要意义：通过不受力物体的运动状态来定义 了惯性参照系。
a?
课堂讨论1
曲柄连杆机构。曲柄以匀角速度 ω转动， OA=r ，AB=l， 滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量。 试求当φ＝0 和φ＝π/ 2 时, 连杆AB所受的力。
y
ω
O φ
A B β x
课堂讨论2
蹦极跳者重为 888.9N, 弹 性带的原长为 18.3m, 刚度系 数 K=0.204N/mm. 当 运 动 员 从距河 39.6m 高的桥上跳下 , 弹性带拉力使其减速为零时 ,
4. 牛顿第三定律的适用范围及意义：
第三定律不仅适合于平衡的物体，也适合于运动物体。 第三定律对惯性、非惯性参照系都适合。 ◆第三定律并不是对所有相互作用力都是适合的。
对物体之间相互作用的传递需要时间，即作用和反作用不是同时产生、 同时消失的情况，第三定律不适用。 运动的带电粒子之间的相互作用属于电磁相互作用，存在推迟效应, 第 三定律不适用。对非接触力,第三定律不一定适用。
(1)
(2)
由微分方程(1)~(4)可以解决质点动 力学的两类问题: (1)已知运动求力; (2)已知力, 求运动。
(3)
解决第一类问题,只需根据质点的 已知运动规律 r = r (t), 通过导数运算,求 出加速度,代入(1)~(4), 即得作用力F.
●
● 求解第二类问题, 是积分过程。
注意,在求解第二类问题时, 方程 的积分中要出现积分常数 ,为了完全确 定质点的运动, 必须根据运动的初始条 件定出这些积分常数。
日心系：在研究天体运动、行星、宇宙飞船等问题时，因为地心
系本身绕太阳公转,必须取日心系,日心系是一个足够精确的惯性参考系。
（四）质点运动微分方程及动力学基本问题
ma=F
d 2r m 2 F dt
d2 x m 2 Fx dt d2 y m 2 Fy dt d2 z m 2 Fz dt
2
多刚体系统：几个刚体相互约束组成的系统。如自行车等。 没有固定形状的质点系：如管道、容器中流体(水、石油等),
质点之间无间隙的连续体，形状随管道、容器而变。还有沙子、土等。
多体系统：刚体、弹性体、液体耦合系统。如卫星。
（三）参考坐标系
在运动学中，选择参考坐标系，完全是为了解题方便，不受限制。 在动力学中，选择参考坐标系，有所限制。
例如，形状记忆合金，存在推迟效应的相互作用。
◆第三定律对质点系动力学问题具有特别重要的意义。
因为第二定律只应用于单个质点，而第三定律给出了质点 系中各质点之间相互作用的关系，因而可以将质点动力学的原 理推广应用来研究质点系动力学问题。
例题1
离心浇铸装置。电动
机带动支承轮作同向运动，
管模放在这两轮上靠摩擦而 旋转。铁水注入后，由于离 n
a
F N
(2)列出质点动力学方程：
α
ma F
ma sin 30 F ma cos30 mg N
在临界状态： F = f N
ma y Fy
max Fx
a
fmg a 2.91(m / s 2 ) m(sin 30 f cos30 )
求：零件不会在水平臂上滑动、翻倒, 传送带加速度a = ? (二) 再考虑倾倒问题 (1)分析：当h/d较大时,可能绕A点倾倒。 mg (2)临界条件: N = 0 (除A点外) 临界状态受力图见右图。 在零件与支承面接触处, 只 在A点受力，其它点不受力。 a
α
心惯性作用 , 会均匀地紧贴
管模的内壁而自动成型 , 从 而得到质量密实的管形铸件 已知管模内径D=400mm,试 求管模应有的最低转速 n .
例题1
离心浇铸装置。电动机带动支承轮 作同向运动，管模放在这两轮上靠摩擦而 旋转。铁水注入后，由于离心惯性作用 , 会均匀地紧贴管模的内壁而自动成型 , 从 而得到质量密实的管形铸件已知管模内径 D=400mm,试求管模应有的最低转速 n . 解:（1）研究对象—— 铁水质点(管壁上) （2）受力分析，画受力图： 管模支承力N , 重力mg 摩擦力F . （3）列运动微分方程： N n
（五）对牛顿定律的理解 ？
1. 牛顿第二定律的适用范围： ma = F
对于宏观物体，在速度远小于光速的情况下，精确适用。 对于原子、分子层次以下的微观粒子，以及速度与光速可 以比拟的高速情况下，牛顿定律失效。 高速运动物体的质量会大大增加： m(u )
m0
1 u 2 / c2
u是物体速度，c是光速，m0、m(u)分别是静质量、动质量。
工程实例: 臂架泵车
动力学反问题：已知浇铸管处运动规律(工作要求)，包括 轨迹和转角。设计臂架泵车上机械臂系统，分析机械臂的动 力学特性，各个关节处要施加的控制力矩。
工程实例: 臂架升降机
动力学反问题：根据作业要求(探测、修补桥面下裂纹)，保 证升降台到达确定位置，设计臂架升降机上机械臂系统。分析 机械臂的动力学特性，各个关节处要施加的控制力矩。
理论力学的研究方法
工程问题
力学模型
力学知识
工程经验
力学理论
否
数学模型
符合 实际
？ 是
数学工具
分析计算
结束
(一) 动力学的研究内容
◆ 动力学的中心问题是针对给定物体的力学模 型，建立描述其运动状态变化的数学模型，即动力 学建模 。
◆ 动力学建模：写出物体受力作用时, 作用力F
(变力)与运动参量之间的函数关系式： F F (t , r , r ) . 一般是微分方程。
A
C A
N F
α
a
(3)列出质点动力学方程：
ma F
仅用质点动力学方程，无法解决此类问题？ 对于倾倒问题，圆柱形零件就不能简化为质点动力学问题。 虽然圆柱形零件尺寸不大，但不能抽象为质点模型。 在什么情况下, 物体可以抽象为质点模型, 什么情况下不行？
ma y Fy
max Fx
动力学方程的发展：
ma = F
当质点速度很大，质量明显依赖于速度，上面两种表述不 等价,必须放弃加速度表述,而采用动量表述，即:
d (mv) F dt
dv dm 相对论动力学方程： m v F dt dt
d (mv ) F dt
（五）对牛顿定律的理解 ？
2. 有关牛顿第二定律的几个性质： ma = F
§1-2
§1-3 §1-4 §1-5 §1-6
动力学模型
参考坐标系 质点运动微分方程 对牛顿定律的理解 典型例题
(一) 动力学的研究内容
研究物体上作用的力系与物体运动之间关系。 利用牛顿定律求解质点和质点系的动力学问题 在物理学已基本解决，在此基础上，要应用到实际 机构中各构件、零件、结构的动力学问题。 ◆动力学的中心问题是针对给定物体的力学模型， 建立描述其运动状态变化的数学模型，即动力学建 模 。 ◆ 动力学建模：写出物体受力作用时, 作用力F (变力)与运动参量之间的函数关系式： F F (t , r , r ) . 一般是微分方程。
（二）动力学模型
自由质点系:航天、航空、航海器等的运动不受环境限制的质点系。 受约束质点系：机器、建筑、车辆等的运动受到限制的质点系。 离散质点系：质点之间无约束和联系，是自由质点。如定向爆破
中碎石、土块。
刚体(连续质点系):不变形的质点系。质点之间距离保持不变。
对于连续质点系 ,表示系统动力学特性的参量 ,如质量、加速度、刚度 等，连续分布在某一空间中。 计算机只能计算离散质点系,因此，工程上常常要将连续质点系简化为 离散的，称为连续系统离散化。
鉴别一个参考系是否为惯性参考系，可以选择以下标准：在这个参考 系中，对一个未受力的物体是否能精确地测量出有无加速度。如果测出它 的加速度为零，则这一参考坐标系就是惯性参考系。 对于一般工程问题来说，地面坐标系和地心系是具有足够精确度的惯 性参考系。日心系是准确度非常高的惯性参考系(准惯性系)。 在天体物理的大尺度范围内，FK4惯性参考系是目前所使用的最好的 惯性参考系。选取1535颗恒星的平均静止的位形作为基准的参考系, 把这 个体系的平均不动的状态作为参考物体。
蹦台
试求该瞬时运动员距河面的
高度，以及弹性带作用于运 动员的最大力。
机起吊重物、机床等，地面坐标系可当作一个惯性参考系（近似）。 不考虑地球自转的影响。 = 7. 27×10-5 rad／S .
地心系：如果物体运动的尺度很大，研究问题的精度又很高，如
卫星的回收、洲际导弹的发射等，这时，地球自转的影响必须考虑，地 球就不能看作是惯性参考系，应取地心系作为惯性参考系。
例题4
由相互铰接的水平臂连成传送 带 ,α=300, 将圆柱形零件从某一高度 传送到另一高度。设零件与臂之间的 摩擦系数f =0.2，求： (1) 下降加速度 a 为多大时，零件 不会在水平臂上滑动； (2)零件高、宽比值h / d 等于多少 时，零件在滑动之前先倾倒。 α a
求：零件不会在水平臂上滑动、翻倒, 传送带加速度a = ? [解]:(一) 先考虑滑动问题 (1)取一圆柱零件研究。 圆柱平动, 转化为质点动力学问题。 分析受力，画受力图。 mg
（1）瞬时性
物体运动的加速度随合力变化而变化,是瞬时对应的关系。
（2）矢量性 牛顿第二定律是一个矢量表达式，表示物体加速度的方向 始终与合外力的方向相同。
（3）独立性—力的独立作用原理
力的独立作用原理：物体受到几个力作用时，每个力各 自独立地使物体产生一个加速度。 以后研究组合体的动力学问题时，要用到力的独立作用 原理。将组合体中各个构件的质心加速度求出，然后再叠加， 得到组合体质心的加速度。
g 9.8 当Nmin＝0时，对应ωmin 4.9 R 0.2 30 30 ∴ nmin min 7 66.9(rpm)
2 min
N min man mg mR 2 mg


例题2
粉碎机滚筒半径为 R ，
绕通过中心的水平轴匀速
θ0 n
转动，筒内铁球由筒壁上
α
F
n α mg
求：管模应有的最低转速n＝？ （3）列运动微分方程：
ma F mg sin man N mg cos
N
F
a 0,
an
N man mg cos
D 2 , 2

2 n 60
n α mg
（4）分析：从工艺上考虑，最不利的情况是在α＝0位置， 此时，N = Nmin , 要保证质量，必须Nmin > 0 . 临界条件： Nmin ≥0 ，否则铁水质点不密实
动力学(40课时)
第一章 质点动力学基础（1） 第二章 动能定理（2） 第三章 动量定理（2） 第四章 动量矩定理（2） 第五章 达朗伯原理（2）
第六章 碰撞来自百度文库2）
第七章 虚位移原理（2） 第八章 拉格朗日方程（2） 第九章 振动理论基础（2）
第 1 章
质 点 动 力 学 基 础
§1-1
动力学研究内容
的凸棱带着上升。为了使 铁球获得粉碎矿石的能量，
铁球应在θ=θ0 时（如图）
才掉下来。求滚筒每分钟
（θ0是给定的撞击参数）
的转数n。
例题3
传送带运送矿 石。传送带与水平 方向成倾角 α ，矿 石与皮带之间的摩 擦系数f , 为保证矿 石不在带上滑动， 求皮带运动的加速 度a.
a
α
（首钢，迁到曹妃甸，25万吨级码头，轮船上矿石，抓斗，输送带，储矿塔。）