MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论

第五章 MIMO 非线性系统的反馈线性化初步理论

引言：

对于多输入多输出系统仍可以用下列紧缩的形式的方程来描述：

)

()()(x h y u x g x f x

=+= （*） n R x ∈

若输入的个数与输出的个数的数目相同时，可令

)

1( )](),...,([)()

1()]

(),...,([)()()]

(),...,([)()1()

,...,()

1(),...,(11111⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=m x h x h Col x h n x f x f Col x f m n x g x g x g m y y Col y m u u Col u m n m m m )(),...,(),(1x g x g x f m 均是光滑的向量场,)(),...,(1x h x h m 是光滑的函数,

均定义在n R 的某个开集上。

5.1 向量相对阶和总相对阶： 一个多变量非线性系统（*），在 x 处有向量相对阶},...,{1m r r 是指：

(i) 0)(=x h L L i k f g j 对所有：111-<≤≤≤≤i r k m i m

j x x ∈∀的邻域

(ii) m m ⨯矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------)(..)(....)(..)()(..)()(11212111

1112211

11x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x A m r f g m r f g r f g r f g r f g r f g m m m m m 在 x x =处是非奇异的。 注意：

（1）该定义涵盖了SISO 系统。

（2）整数m r r ,...,1中的某个i r 是与系统第i 个输出)(x h i 有关的。行向量： )](),...,([111x h L L x h L L i r f g i r f g i m i --，至少有一个元素是非零的，即行向量不是零向量，否则矩阵)( x A 就是奇异的了。所以对某个i y 来说至少有一个j u ，对这样的单输入单输出系统说来，它在 x 处的相对阶就是i r ，而对于其他可以选择的k u 说来，其在 x 处相应的相对阶如

果存在的话，一定大于或等于这个i r 。

（3）i r 也是在0t t =时刻，从)(t y i 的微分中得到至少)(0t u 中一个分量的显式表示时所需要微分的次数。

（4）若系统在0x x =处有向量相对阶},...,{1m r r ，则行向量

)

(),...,(),()(),...,(),()

(),...,(),(010*********

11010121

x h dL x h dL x dh x h dL x h dL x dh x h dL x h dL x dh m r f m f m r f f r f f m ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

是线性无关的。

证明该性质可以仿照单输入单输出的思路： 若i r r >1，m i ≤≤2，构造两个矩阵：

))(),...,(),...,(),...,(),(),...,((121

211121x h dL x dh x h dL x dh x h dL x dh Col Q m r f

m r f r f m ---=

))(),...,(),...,(),...,((1

11111x g ad x g ad x g x g Col P m r f

r f m --= 然后将QP 相乘，再对它的行重新排列后，矩阵就呈现一个块三角的结构，其对角线上的块组成)(x A 矩阵的行。由)(x A 的非奇异性即可证明QP 的行是线性无关的，因而Q 的行也是线性无关的。

（5）当系统的输入数目大于输出数目时，向量相对阶定义中的条件（ii ）,)(0x A 阵的非奇异性用该矩阵的秩等于它的行数（也就是输出通道的个数）来代替。实际多输入多输出系统关键的是输入的数目。所谓输出是看效果的地方，所以采集某个量、观察某个量都可以看作是输出。

（6）m r r r r +++=...21称为总相对阶，且有n r ≤。 5.2 局部坐标变换和标准形

若系统在0x 处有向量相对阶},...,{1m r r ，称m r r r r +++=...21为总相对阶，则n r ≤。设m i ≤≤1，则对于某一指定的i ，取下列映射：

)()()

()(21x h L x x h x i f i i i ==φφ

. . .

)()(1x h L x i r f i r i i -=φ

当r 严格小于n 时，总可以找到另外r n -个函数)()...(1x x n r φφ+，使得

)](),...,(),...,(),...,(),...,(),...,(),(),...,([)

(1122111121x x x x x x x x Col x z n r m

r m r r m

φφφφφφφφφ+==

在0x 处的雅可比矩阵是非奇异的，则)(x φ就有资格作坐标变换。一般

来说，附加的变换函数)(),...,

(1x x n r φφ+是可以任选的，但是当分布},...,{1m g g Span G =在0x 处是对合的，则与SISO 情况相似，总可以找

到)(),...,(1x x n r φφ+，使 0)(=x L i g j φ

m

j n i r ≤≤≤≤+11 0x x ∈∀的邻域

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-r n m r m r m m z ηηξξξξηξξξηξ 1111121

1....

则利用上述坐标变换后，新坐标表示的系统方程可以分成（m+1）组: 第1组:

)()

(13121212121111t dt

d t dt d ξφξξφφξ=====∙∙ . . .