第七讲 多拐点问题突破

6

54

321F

E D

C

B

A 第七讲 多拐点问题突破

总则：先解决同顶点处的角的算；不同顶点处的角先通过平行线转化到同

一顶点处，再通过计算或方程思想解决角之间的关系；

一、有平行，用平行：题中出现平行线时，利用平行线的性质将已知角（条件中出现的

角）或未知的角（要解决的问题中的角）进行位置转化，将已知和未知联系起来.

二、用好角之间的数量关系：

①同顶点处：对顶角，邻补角，平分线 ，和差关系等； ②不同顶点处：（同位角，内错角，同旁内角）看是否能判定两直线平行； ③等量代换或等式的性质；

1.如图，∠A=∠3，∠1=∠2，∠5=∠B ，求证：AB ∥CD.

2.如图，AB ∥CD ，F 为CD 下方一点，连接BF 、DF 交CD 于M 。 （1）求证：∠F+∠D=∠B.

（2）BE 平分∠ABF ，连接ED ，∠1=∠2，则下列结论：①ABE E F ∠∠-∠的值不变；②

ABE

E

F ∠∠+∠的值不变，哪个正确？选择正确的结论并证明。

5

3

21E D

C

B

A

M F

D

C B

A 2

1

E

M

F D

C

B

A

3..如图，直线EF 上有两点A 、C ，分别引两条射线AB 、CD ，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB 、CD 分别绕A 点、C 点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t ，两条射线各自转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD 与AB 平行，若存在，求出所有满足条件的时间t 。

压轴题突破：

例题1.如图，AB ∥DE,∠A=∠D ，∠F=∠C ，求证：AF ∥CD,FE ∥BC.

同类1.如图，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD ∥BE.

练2.已知如图，直线AB 和直线DE 被直线CF 所截，直线CF 交直线AD 于M 点。设∠CDA=x °，∠DAF=y °，且04622134=-++--m y m x 。

（1）求证:AB ∥CD;

（2）直线BE 交直线AD 于N 点，若∠ECF=∠EBF,求证：∠CMA+∠BNM=180°;

A D C F E

B F E

D

C

B

A 4

32

1

F E

D

C

B

A C

D

E N F

B

A

M

（3）将直线CF 向左平移，使得C 在线段DE 的延长线上，仍然有∠ECF=∠EBF,则下列结论: ①∠MAB+∠ECM=∠CMA; ②∠MAB-∠ECM=∠CMA.其中正确的结论，请选出来，先画出图形，再证明你的结论。

练3..如图，直线a ∥b ，点A 为直线a 上的一动点，B 为直线a 、b 之间的定点，点C 为直线b 上的定点。

（1）当∠DAB 与∠ECB 互余时，AB 、BC 存在什么关系，并说明； （2）在（1）的条件下，将等腰直角三角尺的一个锐角顶点与B 点重合放置，BM 平分∠ABQ 交直线a 于点M ，EN 平分∠PBC ，交直线b 于N ，当三角尺绕B 点转动，且BC 始终在∠PBQ 的内部时，∠DMB+ENB 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围； （3）点F 在直线a 上，使得∠AFB=∠ABF,∠ABC 的平分线交直线a 于点G ，当点A 移动时，求

ECB

FBG

∠∠的值。

练4，如图，AB ∥CD ，AF 平分∠BAE ，∠FCD=∠ECD ，∠E 的余角等于2∠F 的补角。

（1）求∠ECF 的度数；

A B N E D b a D E C B A b a N C Q

P E B M A D E b a C

B G F A D E

F D C B A

（2）在前面的条件下，P 为CE 上一点，AP 交CF 于点H ，AM 平分∠BAP 交CF 于M ，

AN ∥CP,则下列结论：①BAM PAN AHC ∠∠+∠的值不变；②BAM

PAN

AHC ∠∠-∠的值不变，

其中只有一个是正确的，请选择并求值。

练5.已知，如图，AB ∥CD ，P 为定点，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点。 （1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD;

（2）若M 为CD 上一点，∠FMN=∠BEP ，且MN 交PF 于N ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系并证明你的结论；

（3）移动E 、F 使得∠EPF=90°,作∠PEG=∠BEP,下列结论：①PFD AEG ∠+∠不变；

②

PFD

AEG

∠∠不变，选择正确的结论并证明。

练6，若HD ∥EG ，作∠BCF=∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，∠F 余角与2∠B 补角相等。（1）求∠BAH;

H P

M

F

N

D

C

B A F E P D

C B A

M N F E P D C B A

F C D P

G E

B

A

O E G B

C

A F D H

图221Q

P N M D C B A 图1

21M N

L H F E D C B A

(2)在前面条件下，若P 是AB 上一点，PN 平分∠APQ ，QR 平分∠PQG ，PM ∥QR ，下列结论： ①∠APQ+∠MPN 的值不变；②∠MPN 的度数不变，选择正确的结论并证明。

【课后演练】

1. 如图1，∠1＋∠2＝180°，∠AEF ＝∠HLN ． （1）判断图中平行的直线，并给予证明；

（2）如图2，若∠PMQ ＝2∠QMB ，∠PNQ ＝2∠QND ，请判断∠P 与∠Q 的数量关系，并证明．

2. 已知AD ∥CE ，点B 为直线AD 、CE 所确定的平面内一点． （1）如图1所示，求证：∠ADB =∠B +∠BFE ．

（2）如图2，FG 平分∠BFE ，DG 交FG 于点G 交BF 于点H ，且∠BDG ：∠ADG =2：1，∠B =20°，

∠DGF =30°，求∠BHD 的度数．

E G Q R M

N P A D

H