高中数学-必修1A课件-2.3-幂函数精选课件PPT

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
yx1
定义域 R 值域 R
奇偶性 奇函数
R [0，+∞） 偶函数
R [0，+∞） ， 0 （ 0 ， + ） R [0，+∞） ， 0 （ 0 ， + ）
奇函数
非奇非偶 函数
x 1
图象经过点(1,1)后，在直线x=1右侧，自下而上指数n由小变大。 在直线x=1左侧相反.
指数大于1,在第一象限为抛物线（凹）； 指数等于1,在第一象限为上升的射线； 指数大于0小于1,在第一象限为抛物线（凸）； 指数等于0,在第一象限为水平的射线； 指数小于0,在第一象限为双曲线型；
学点一 幂函数的定义域
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是
增函数
公共点
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图像特征
y
1
y xn(n为 常)数
o
Fra Baidu bibliotek
n1
n1
0n1yx0(x0)
n0
2.3 幂函数 y=xn
我们来看看由8、2、3、1 这四个数 3
运用数学符号可组成哪些等式？
运算的完美性
823
我们知道：N=ab
1
3lo2g8 283
– 如果a一定，N随b的变化而变化，
我们建立了指数函数y=ax
函数的完美
– 如果a一定，b随N的变化而变化， 追求 我们建立了对数函数y=log a x
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
定义
一 般 地 ,函 数 y x 叫 做 幂 函 数 ,其 中 x 是 自 变 量 ,
设想：如果b一定，N随a的变化而变化，
是否也应该可以确定一个函数呢？
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果李四 购买了 每千克 1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p =w元，这里p是w的函数 y。x
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S =a² ，这里S是a的函数 。
y = x²
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
在(,0]上是减函数
函数 yx1 的图像
定义域：{x x 0}
值 域：{yy0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1
如何 y画 x3和 yx2的图像 ? 呢
x y=x3
y=x1/2
… -2 … -8 …/
-1 0 -1 0 /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
情形。 1
即 y x ,y ： x 2 ,y x 3 ,y x 2 ,y x 1
探究1：结合前面研究指数函数与对数函数的方法，我们应 如何研究幂函数呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质
探究 2：在同一坐标下 系列 内幂 作函 出数的填 图表 象 yx,yx2,yx3,yx12,yx13,yx1,yx2,yx12
第一象限的图像特征
归纳性质 3 yx3 yx2
3
3
2
2
1
y x2
2
1
1
1
y x3 1
y x12
yx1
0 0
1
2
0
3
0
1
2
0
3
0
1
2
y x2
3
当 1，x ( 0 , 1 ) , yx的图像都在yx下方，形状下凹;
当01，x ( 0 , 1 ) , yx 的图像都在yx上方，形状上凸;
当 0，则幂函数在区间 (0,)上是减函数.
是 常 数 。
思考：幂函数与指数函数有什么区别？
名称
式子
a
x
y
指数函数: y=a x
底数
指数
幂值
幂函数: y= x a
指数
底数
幂值
看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
概念剖析
1.判断下列函数哪些是幂函数？ 1
（1）y 0.2x × (2) y x 2√
(3) y x1√ (4) y x2√
例：求下列幂函数的定义域：
4
y x 3 ,
3
y x 5 ,
2
y x 3 ,
y x 3 ,
3
y x 2 .
-4 -6 -8
12 18 12 y=x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
(5) y x2 ×
2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3, 27 )
则f(x)＝＿＿＿＿
待定系数法
3.已知f(x)=（m2+2m） xm2m1,当m为何值时，f(x)是： （1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数； （4）幂函数？
幂函数性质的探究：
对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， 1 ，–1 时的 2
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x -
- - 6 - 4 2 2 4 6
幂函数在(0,+∞)都有定义 ( - 幂函数的图象都1 通过点(1,1)
α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2
α为偶数时,幂函数为偶函数.
- 在第一象限内，3
a >0,在(0,+∞)上为增函数; - a <0,在(0,+∞4 )上为减函数.
是V =a³，这里V是a的函数 。
y= x³
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边 1
1
长a= S，2 这里a是S的函数。
y=x 2
问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车
的平均速度v = t-1 km，/s 这里v是t的函数。 y=x1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是:
性质 y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x1/3 y=x-1 y=x-2 y=x-1/2 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
函数 yx的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数 单调性：在[0,)上是增函数