第讲学生份正方形的性质与判定知识点及例题

第---讲－(学生份)－-正方形的性质与判定知识点及例题

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ﻩ

F

E

D C

B

A

A 5

A 4

A 3A 2

A 1

第 ７ 讲 正方形的性质与判定

一．知识要点:

1．正方形的定义：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质: ① 边的性质:对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质:两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形. 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系:（如图) ３.正方形的判定

判定①:有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②:有一个角是直角的菱形是正方形．

二．例题讲解

1. 正方形的性质

【铺垫】正方形有 条对称轴. 例1．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上,点E 在CB 的延长线上,且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为

例2.将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，

，，分别是正方形的中心,则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点,求证：AE CE =．

正

方形

菱形

矩形平行四边形E

D

C

B

A

P D C B A G C F

E D B

A B D C A E F 例3．如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.

【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形,那么DCP ∠=

例4.如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上,连接,BE DG ,求证：BE DG =.

例 5.如图,在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点,F 为BC 延长线上的一点，CE CF =,30FDC ∠=︒,求BEF ∠的度数．

F

E P D C B A

F A B C D

E

例６.如图4.6-6,已知Ｅ为正方形ABCD 的边BC 的中点,EF ⊥AE ，C Ｆ平分∠DCG ，求证:A Ｅ=ＥF. 解析:可取AB 中点Ｍ，连结ME ，证△AM Ｅ≌△EC Ｆ

2.正方形的判定

例1.如图所示，在Rt ΔＡB Ｃ中,∠Ｃ=９0°,∠A 、∠Ｂ的平分线交于点D ，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，DF ⊥AC 于Ｆ，试说明四边形CEDF 为正方形。

例2.已知:如图,在ABC ∆中，AB AC =,AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥,垂足为点E ．

⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形;

⑵ 当ABC ∆满足什么条件时,四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．

例3.已知：如图,D 是△ＡBC 的BC 边上的中点，DE⊥AＣ，DF⊥ＡＢ，垂足分别是E 、F,且BF ＝CE ． (１)求证:△AＢC 是等腰三角形；

(2)当∠A=9０°时，试判断四边形A ＦDE 是怎样的四边形,证明你的结论．

M

E N C

D B A

练习

1.如图,在一正方形ＡBCD中.E为对角线AC上一点,连接EＢ、EＤ，ﻫ(1)求证:△ＢEＣ≌△DＥＣ:ﻫ（2)延长ＢＥ交ＡD于点F，若∠ＤEB=140°．求∠AＦE的度数．

2.已知:如图，正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点，DＧ⊥ＡE于G,DG交ＯＡ于F.

求证：OE=OF.ﻫ

3.如图，F为正方形ABCD的对角线AC上一点，FＥ⊥ＡD于点E,M为CF的中点．

(１)求证:MＢ＝MD；

（2)求证:MＥ＝MＢ.