关于正方形的性质和判定课件

性质
边形 形 形 形
对边平行且相等
有
有有
有
四条边都相等Biblioteka Baidu
有
有
对角相等
有 有有
有
四个角都是直角
有
有
对角线互相平分
有
有有
有
对角线互相垂直
有
有
对角线相等
有
有
每条对角线平分一组 对角
有
有
请用这四种图形填空
A表示： 平行四边形 B表示： 矩形（菱形） C表示： 菱形（矩形） D表示： 正方形
有一组邻边相等且有 一个角是直角
自矩主学形习、正方形（2）
1、在下列性质中，平行四边形具有的是_______， 矩形具有的是_________，菱形具有的是_______， 正方形具有的是_______________。
（1）四边都相等； （2）对角线互相平分； （3）对角线相等； （4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角； （6）每条对角线平分一组对角； （7）对边相等且平行； （8）有两条对称轴。
求: 它的边长和面积。
A
D
解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB ＝ BC，∠ABC＝90°
﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚
在Rt⊿ABC中， A2B B2 C A2 C B
C
边A 长 B2AC 2422cm
2
2
面 S 积 A2 B （ 22 ） 28 c2 m
或面 S1积 A2C 1428cm 2 22
1、正方形的面积等于边长的平方。
2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。
3、正方形的周长等于边长的4倍。
练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC
上，且BE ＝ DF，AC与BC相交于O点，EF
与AC相交于P点 求证：EF ⊥ AC，EF ∥ BD
A
证明： ∵四边形ABCD是正方形
每条对角线平分一
组对角 正方形具有平行四边形、矩形、菱
形的一切性质。
二、正方形的性质
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都
相等且对边平行。 正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相
三段论形式：垂直 平分，每条对角线平分一组对角。
A
D
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAB＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA＝90°
④、能说“四条边都相等的四边
形是正方形吗？”为什么？
⑤、能说“四个角都相等的四边
形是正方形吗？”为什么？
例题1:四边形ABCD是正方形,两条对角线
相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
解：∵四边形ABCD是正方形 A F D
∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC
O
∴∠OAB=450
正方形、矩形、菱形及平 行四边形四者之间的关系
3、正方形的判定:
1.定义法 2.先判定是矩形,再判定是菱形，或
先判定是菱形,再判定是矩形。
①、对角线相等的菱形是正方形
吗？为什么？
②、对角线互相垂直的矩形是正
动 方形吗？为什么？
脑 想
③、对角线互相垂直且相等的四
一 边形是正方形吗？为什么？如果
想 不是，应该加上什么条件？
矩形、正方形（2）
自主学习
2、正方形两条对角线的和为8cm，它的 面积为____________.
矩形、正方形（2）
A
D
∴AB＝ BC ＝ 2cm，∠ABC ＝ 90°
﹙正方形的四个角都是直角，四条边都相等﹚
在 R A t B 中 C A ， CA2 B B2C B
C
对角 A C 线 222222cm
∵边长AB＝2cm ∴周长C＝4AB＝8cm
面积 S4cm2
练习 2、已知：正方形的一条对角线长为4cm
关于正方形的性质和判定
正 方 形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相 等的矩
形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正菱方形形 一个角是直角的菱形
1.正方形定义:
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一组邻边相等并且有一个角是直 角的平行四边形
两层 含义
⑴有一组邻边相等的平行 四边形（菱形） ⑵并且有一个角是直角的
O
⊿ DAO是全等的等腰直角三角形 B
C
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC＝BD，AC⊥BD，AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO ﹙正方形的对角线相等，并且互相垂直平分﹚
∴⊿ABO、 ⊿ BCO 、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO 都是等腰直角三 角形，并且⊿ABO ≌⊿ BCO ≌ ⊿ CDO ≌ ⊿ DAO
正 方 形
平行四边形（矩形）
快速反应
1、_有__一__组__邻__边__相__等__的___的矩形叫做正方形。
2、 有一个角是直角的 的菱形是正方形。
有一个角是直角且有一组邻边相等的
3、
的平
行四边形是正方形。
2、正方形的对性边质平行
正 方
边 四边相等
形 角 四个角相等且都是直角
性 质
对角线相等
对角线 互相垂直平分
O
∴AB＝BC＝CD＝DA ∴AD∥BC，AB∥CD
B
C
∴AC ＝BD，AC⊥BD，AO ＝ CO ＝ BO ＝ DO
∴AC平分∠BAD和∠BCD
∴BD平分 ∠ ABD和∠ADC
对称轴
思考：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形分别 有哪些性质？这些性质可以从哪几个角度概括？
图形 平行四 矩 菱 正方
D
∴BC ＝ CD
OP F
﹙ 正方形的四条边都相等﹚ ∵BE ＝ DF
BEC
∴EC ＝ FC ∵AC平分∠BCD
﹙ 正方形的每条对角线平分一组对角﹚
∴EF⊥ AC
∵AC ⊥BD （正方形的对角线互相垂直）
∴ EF ∥ BD
矩形、正方形（2）
快速反应
4、判断。 （1）正方形一定是矩形。（ ） （2）正方形一定是菱形。（ ） （3）菱形一定是正方形。（ ） （4）矩形一定是正方形。（ ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （）
由于正方形的面积等于⊿ABO 面积的4倍，所 以正方形的面积等于对角线的平方的一半。
做一做
现在请大家做一做这样一个 实验：将一张长方形纸对折 两次，然后剪下一个角，打 开，怎样剪才能剪出一个正 方形？
练习 1、已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形
的周长、对角线长和正方形的面积。
解：∵四边形ABCD是正方形
BEC
(2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方
形的面积是 8
(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点
到正方形一边的距离 4㎝
例2求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 等腰直角三角形。
已知：四边形ABCD是正方形，对角 A
D
线AC、BD相交于点O
求证：⊿ABO、 ⊿ BCO 、 ⊿ CDO、