第六章 数字高程模型内插-2014
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数 字 高 程 模 型
Chapter 6 Interpolation Techniques for terrain surface modelling 主 讲：严 勇
Contents
6.1 内插方法的分类
6.2 整体内插
6.3 分块内插
6.4 逐点内插法 6.5 一些例子介绍
6.1 内插方法的分类
相邻面片拼接处在x和y方向的斜率都应保持连续； 相邻面片拼接处的扭矩连续(即二阶混合导数连续)。
R z / x S z / y T z / xy
2
较简单的方式：使用等权一阶差商中数代替导数
R A z / x ( z i 1, j z i 1, j ) / 2 S A z / y ( z i , j 1 z i , j 1 ) / 2 TA 2 z / xy ( z i 1, j 1 z i 1, j 1 ) ( z i 1, j 1 z i 1, j 1 ) / 4
参考点间的振荡现象
Oscillation of high-order polynomial surface
Least-squares fitting of a local surface
最小二乘法拟合
e
i 1
n
i
min
e
i 1
n
2 i
min
where e i is the deviation of the ith reference point from the fitting surface and n is the total number of reference points.
1、移动拟合法
对于每个待插的点，可选取其邻近的n个数据点(可 称其为参考点)拟合一多项式曲面。 数学表达式：
Z AX 2 BXY CY 2 DX EY F
f ( x, y) b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2
当采样点不足6个时，需要扩大取样半径；当采样 点超过6个时，要列出n个采样点的误差（vi）方程的 矩阵如下：
a01 y a11 xy a21 x 2 y a31 x 3 y a02 y 2 a12 xy 2 a22 x 2 y 2 a32 x 3 y 2 a03 y 3 a13 xy3 a23 x 2 y 3 a33 x 3 y 3
16个待定系数，须列出16个线性方程；12个 方程根据下述力学条件建立：
where a0 , a1 , a2 , , a5 are the six coefficients. They need to be determined by making use of n reference points
Commonly used functions
If there are n (>6) reference points
Simplified as
V X A Z
n1 n6 61 n1
61
A X X
6n
T
n6
X Z
1 T 6n n1
6.4 Point-based moving surfaces逐点内插法 （移动曲面法）
以待插点为中心，定 义一个局部函数去拟合 周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的 变化而移动。
x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 x1 y1 x2 y 2 x3 y 3 x4 y 4
P
a0 1 a 1 1 a 2 1 a3 1
1
Z1 Z 2 Z 3 Z 4
1
2
Z 1 1 x1 Z 1 x 2 2 1 x3 Z 3 y1 a 0 y 2 a1 y3 a 2
a0 1 x1 a 1 x 2 1 1 x3 a2
6.2 分块内插
Interpolation approaches
By the size of the area for interpolation,two approaches are identified :
area-based point-based
Area-based interpolation
v MB Z
v1 v v 2 ... v n b1 Z1 b Z B 2 Z 2 ... ... b Z n n
1 1 M ... 1 x1 x2 ... xn y1 y2 ... yn x12
i i 0 j 0
m
m
i
优点： 整个区域上函数的唯一性 能得到全局光滑连续的DEM 充分反映宏观地形特征
缺点：
保凸性较差。当地貌复杂时，用高次多项式 来描述，参考点间会出现振荡现象。
不易得到稳定的数值解。参考点测量误差、 计算的舍入误差、数据采样误差引起。参考《计 算方法》 多项式系数物理意义不明显。H＝ax+by+c 解算速度慢且对计算机容量要求较高。 不能提供内插区域的局部地形特征。
z1 1 x1 z 2 1 x 2 zn 1 x n y1 y2 yn x1 y1 x2 y 2 xn y n
x12 2 x2 2 xn
x12 2 x2 2 xn
y12 a 0 2 y2 a1 2 a yn 5
DEM内插
根据若干相邻参考点的高程求出待定点上 的高程值。 内插前提
假设原始地形起伏变化是连续并且光滑
邻近的数据点间有很大相关性。
Importance
Interpolation is involved in the various stages of the modeling process such as quality control surface reconstruction accuracy assessment terrain analysis and applications
2 x2
x1 y1 x2 y 2 ... xn y n
... 2 xn
y12 2 y2 ... 2 yn
根据平差理论，二次曲面系数的解为：
B (M T PM ) 1 M T PZ
y p yl yr
点l，r分别位于直线AB和AC上。
6.3.2 双线性多项式内插
Bilinear interpolation
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一 个四边形，进而确定一个双线性多项式来内插 待插点的高程。 4 函数形式：
3
z a0 a1 x a2 y a3 xy
Pointwise interpolation
6.3.1 Simple linear interpolation 线性内插
函数形式：
Z a0 a1 x a2 y
P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ), P 3 ( x3 , y3 , z 3 )
y1 y2 y3
1
Z1 Z 2 Z3
More practical bilinear interpolation algorithm in triangle 若方阵可逆，则该方阵的行列式不为零。三 个参考点不在一条直线上。 若三个参考点趋近于一条直 线时，采用双线性内插方法。
在ABCD矩形，已知四角点高程ZA、ZB、ZC、ZD， 以及它们的导数值RA、RB、RC、RD、SA、SB、SC、SD 和TA、TB、TC、TD就可建立16个方程，求解后得出 曲面方程系数a1, a2, a3,…a16,代入方程，解算某 一点的高程。
6.3.4 Area-based best fitting of surfaces
1,2,3,4为正方形四个格网点，d是格网边长。
4 d 3 P
y
1
x
wk.baidu.com
2
(a) For square grids
6.3.3 二元样条函数内插
Bilinear interpolation
Advantages It is widely used in DTM interpolation because it is simple, intuitive and reliable Disadvantage The resulting surface is not smooth
More practical bilinear interpolation algorithm in grid
如果数据参考点呈正方形格网分布
x y y x x y x y z p z1 1 1 z 2 1 z 3 z 4 1 d d d d d d d d
The error functions
v1 1 x1 v 2 1 x 2 v n 1 x n y1 y2 yn x1 y1 x2 y 2 xn y n y12 a 0 z1 2 y2 a1 z 2 2 yn a5 z n
The surface is constructed by using all the reference (known) points within this area and the height of any point within this area can be determined by using this constructed surface It could be either global or local
z l z A ( z B z A )(xl x A ) /( x B x A ) z r z A ( z C z A )(x r x A ) /( xC x A ) z p z l ( z r z l )(x p xl ) /( x r xl )
Residuals at reference points on different surfaces
Commonly used functions
2nd order polynomial
z f ( x, y) a0 a1 x a2 y a3 xy a4 x 2 a5 y 2
二元样条函数内插Bicubic spline interpolation
以每一个方格网作为分块单元，任一矩形 ABCD可构成双三次曲面方程：
z f ( x, y ) ai , j x i y j
j 0 i 0 3 3
a00
a10 x
a20 x 2
a30 x 3
DEM内插分类方法
二维插值（exact fitting ）：曲面通过内插范围 的全部参考点。
曲面拟合（ best fitting ）：曲面不要求通过全 部参考点，但要遵从最小二乘法则，即拟合面 相对于已知数据点的高差的平方和最小。
6.2 整体内插
整体函数法内插
多项式函数数学表达式：
P( x, y) Cij x y
Chapter 6 Interpolation Techniques for terrain surface modelling 主 讲：严 勇
Contents
6.1 内插方法的分类
6.2 整体内插
6.3 分块内插
6.4 逐点内插法 6.5 一些例子介绍
6.1 内插方法的分类
相邻面片拼接处在x和y方向的斜率都应保持连续； 相邻面片拼接处的扭矩连续(即二阶混合导数连续)。
R z / x S z / y T z / xy
2
较简单的方式：使用等权一阶差商中数代替导数
R A z / x ( z i 1, j z i 1, j ) / 2 S A z / y ( z i , j 1 z i , j 1 ) / 2 TA 2 z / xy ( z i 1, j 1 z i 1, j 1 ) ( z i 1, j 1 z i 1, j 1 ) / 4
参考点间的振荡现象
Oscillation of high-order polynomial surface
Least-squares fitting of a local surface
最小二乘法拟合
e
i 1
n
i
min
e
i 1
n
2 i
min
where e i is the deviation of the ith reference point from the fitting surface and n is the total number of reference points.
1、移动拟合法
对于每个待插的点，可选取其邻近的n个数据点(可 称其为参考点)拟合一多项式曲面。 数学表达式：
Z AX 2 BXY CY 2 DX EY F
f ( x, y) b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2
当采样点不足6个时，需要扩大取样半径；当采样 点超过6个时，要列出n个采样点的误差（vi）方程的 矩阵如下：
a01 y a11 xy a21 x 2 y a31 x 3 y a02 y 2 a12 xy 2 a22 x 2 y 2 a32 x 3 y 2 a03 y 3 a13 xy3 a23 x 2 y 3 a33 x 3 y 3
16个待定系数，须列出16个线性方程；12个 方程根据下述力学条件建立：
where a0 , a1 , a2 , , a5 are the six coefficients. They need to be determined by making use of n reference points
Commonly used functions
If there are n (>6) reference points
Simplified as
V X A Z
n1 n6 61 n1
61
A X X
6n
T
n6
X Z
1 T 6n n1
6.4 Point-based moving surfaces逐点内插法 （移动曲面法）
以待插点为中心，定 义一个局部函数去拟合 周围的数据点，数据点 的范围随待插点位置的 变化而移动。
x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 x1 y1 x2 y 2 x3 y 3 x4 y 4
P
a0 1 a 1 1 a 2 1 a3 1
1
Z1 Z 2 Z 3 Z 4
1
2
Z 1 1 x1 Z 1 x 2 2 1 x3 Z 3 y1 a 0 y 2 a1 y3 a 2
a0 1 x1 a 1 x 2 1 1 x3 a2
6.2 分块内插
Interpolation approaches
By the size of the area for interpolation,two approaches are identified :
area-based point-based
Area-based interpolation
v MB Z
v1 v v 2 ... v n b1 Z1 b Z B 2 Z 2 ... ... b Z n n
1 1 M ... 1 x1 x2 ... xn y1 y2 ... yn x12
i i 0 j 0
m
m
i
优点： 整个区域上函数的唯一性 能得到全局光滑连续的DEM 充分反映宏观地形特征
缺点：
保凸性较差。当地貌复杂时，用高次多项式 来描述，参考点间会出现振荡现象。
不易得到稳定的数值解。参考点测量误差、 计算的舍入误差、数据采样误差引起。参考《计 算方法》 多项式系数物理意义不明显。H＝ax+by+c 解算速度慢且对计算机容量要求较高。 不能提供内插区域的局部地形特征。
z1 1 x1 z 2 1 x 2 zn 1 x n y1 y2 yn x1 y1 x2 y 2 xn y n
x12 2 x2 2 xn
x12 2 x2 2 xn
y12 a 0 2 y2 a1 2 a yn 5
DEM内插
根据若干相邻参考点的高程求出待定点上 的高程值。 内插前提
假设原始地形起伏变化是连续并且光滑
邻近的数据点间有很大相关性。
Importance
Interpolation is involved in the various stages of the modeling process such as quality control surface reconstruction accuracy assessment terrain analysis and applications
2 x2
x1 y1 x2 y 2 ... xn y n
... 2 xn
y12 2 y2 ... 2 yn
根据平差理论，二次曲面系数的解为：
B (M T PM ) 1 M T PZ
y p yl yr
点l，r分别位于直线AB和AC上。
6.3.2 双线性多项式内插
Bilinear interpolation
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一 个四边形，进而确定一个双线性多项式来内插 待插点的高程。 4 函数形式：
3
z a0 a1 x a2 y a3 xy
Pointwise interpolation
6.3.1 Simple linear interpolation 线性内插
函数形式：
Z a0 a1 x a2 y
P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ), P 3 ( x3 , y3 , z 3 )
y1 y2 y3
1
Z1 Z 2 Z3
More practical bilinear interpolation algorithm in triangle 若方阵可逆，则该方阵的行列式不为零。三 个参考点不在一条直线上。 若三个参考点趋近于一条直 线时，采用双线性内插方法。
在ABCD矩形，已知四角点高程ZA、ZB、ZC、ZD， 以及它们的导数值RA、RB、RC、RD、SA、SB、SC、SD 和TA、TB、TC、TD就可建立16个方程，求解后得出 曲面方程系数a1, a2, a3,…a16,代入方程，解算某 一点的高程。
6.3.4 Area-based best fitting of surfaces
1,2,3,4为正方形四个格网点，d是格网边长。
4 d 3 P
y
1
x
wk.baidu.com
2
(a) For square grids
6.3.3 二元样条函数内插
Bilinear interpolation
Advantages It is widely used in DTM interpolation because it is simple, intuitive and reliable Disadvantage The resulting surface is not smooth
More practical bilinear interpolation algorithm in grid
如果数据参考点呈正方形格网分布
x y y x x y x y z p z1 1 1 z 2 1 z 3 z 4 1 d d d d d d d d
The error functions
v1 1 x1 v 2 1 x 2 v n 1 x n y1 y2 yn x1 y1 x2 y 2 xn y n y12 a 0 z1 2 y2 a1 z 2 2 yn a5 z n
The surface is constructed by using all the reference (known) points within this area and the height of any point within this area can be determined by using this constructed surface It could be either global or local
z l z A ( z B z A )(xl x A ) /( x B x A ) z r z A ( z C z A )(x r x A ) /( xC x A ) z p z l ( z r z l )(x p xl ) /( x r xl )
Residuals at reference points on different surfaces
Commonly used functions
2nd order polynomial
z f ( x, y) a0 a1 x a2 y a3 xy a4 x 2 a5 y 2
二元样条函数内插Bicubic spline interpolation
以每一个方格网作为分块单元，任一矩形 ABCD可构成双三次曲面方程：
z f ( x, y ) ai , j x i y j
j 0 i 0 3 3
a00
a10 x
a20 x 2
a30 x 3
DEM内插分类方法
二维插值（exact fitting ）：曲面通过内插范围 的全部参考点。
曲面拟合（ best fitting ）：曲面不要求通过全 部参考点，但要遵从最小二乘法则，即拟合面 相对于已知数据点的高差的平方和最小。
6.2 整体内插
整体函数法内插
多项式函数数学表达式：
P( x, y) Cij x y