第章复变函数习题答案习题详解
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， 。代入上式，得： 。
整理得：
令 ， ，
是复平面上的圆的方程（ 为复常数， 为实常数）。
24．将下列方程（ 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：
1) ；
解：设 ，则
2) ，（ 为实常数）；
解：设 ，则
3) ；
解：设 ，则
4) ；
解：设 ，则
5) ，（ 为实常数）；
解：设 ，则
6) ；
解：设 ，则
第一章习题详解
1．求下列复数 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2．当 、 等于什么实数时，等式 成立？
解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：
又因为的系数为实数，
因此 。即 也是方程 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。
13．如果 ，证明：
证明：
证明：
14．求下列各式的值：
解：
解：
解：
即： ， ， ， ， ，
解：
即： ， ，
15．若 ,试求 的值。
解：
1)求方程 的所有根；
解：
即： ， ，
2)求微分方程 的一般解。
解：微分方程 的特征方程为： 。由前题得： ， ，
， ， ，使 时，有
，使 时，有
取 ，则当 时，必有
故 。
定理三函数 在 处连续的充要条件是： 和 在点 处连续。
证明： 在 处连续， ，即
，
即 和 在Leabharlann Baidu 处连续。
28．设函数 在 连续且 ，那么可找到 的小邻域，在这邻域内 。
证明：
函数 在 连续，即
可取 ，存在 ，使得当 时，有
又
即存在 的 邻域，在这邻域内 。
解：假命题。有两个数 ，使 成立。
6) ；
解：假命题。设有两个数 ，使 不成立。
解：真命题。
8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
解： ，
解： ，
解： ，
解：
另：
另：
解：
，
解：
9．将下列坐标公式写成复数的形式：
1)平移公式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
即：
2)旋转公式：
解：
即
的最大值是
7．判定下列命题的真假：
1)若 为实常数，则 ；
解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。
2)若 为纯虚数，则 ；
解：真命题。设 ，则 ，显然 。
3) ；
解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。
4)零的幅角是零
解：假命题。复数 的幅角是任意的，也是无意义的。
5)仅存在一个数 ，使得 ；
3) 。
解： 位于以 , , 为顶点的三角形的重心上。
18．设 三点适合条件 ， 。证明： 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
证明：（方法一）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
令 ， ，
其中 。 ， ，
或
同理可得： 或
分析：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 与 矛盾。 。
同理 。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
7) ，（ 为复数）。
解：设 ，则
25．函数 把下列 平面上的曲线映射成 平面上怎样的曲线？
1) ；
解：设 ， ，则
是w平面上的圆。
2) ；
解：设 ， ，则
且 是w平面上的直线。
3) ；
解：设 ， ，则
是w平面上的圆。
4) 。
解：设 ， ，则
是w平面上的直线。
26．已知映射 ，求：
1)点 ， ， 在 平面上的象；
31．试证 在原点与负实轴上不连续。
证明：当 时， 不确定，所以 在 处不连续。
当 点在负实轴上时，动点 从上半平面趋于 时， 趋于 ；而动点 从下半平面趋于 时， 趋于 。故 不存在，所以 在负实轴上不连续。
7) ；
解：设 ，由 ，表示以 为圆心半径为 的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。
8) ；
解： 表示以 与 为焦点长半轴 短半轴 的椭圆及其内部，是有界的单连通闭域。
9) ；
解： 表示以 与 为焦点实半轴 虚半轴 的双曲线左边一支的左侧，是无界的单连通域。
10) 。
解：设 ，由 ，表示以点 为圆心半径为 的圆及其内部，是有界的单连通闭域。
证明： 且
是等边三角形的充分必要条件是
因此，满足 的点 ， ， 为顶点的三角形是等边三角形，必有
20．指出下列各题中点 的轨迹或所在范围，并作图：
1) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为6的圆周。
2) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为1的圆周及其外部。
3) ；
解：设 ，则
即 是平行于y轴的通过 的直线。
29．设 ，证明 在 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数 ，使在 的某一去心邻域内有 。
证明： ，即 ， ，当 时，有 ，取 ，则有 。
30．设 。试证当 时 的极限不存在。
证明：（方法一）
设 ，则
显然，当沿着不同的路径 时， 有不同的值， 不存在。
（方法二）
令 ，则
于是 ，
沿着不同的路径 时， 的值不同，故 不存在，于是 不存在。
10) 。
解：设 ，则
即 是以 为端点的射线 ， 。
21．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
1) ；
解：设 ，则 ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。
2) ；
解：设 ，由 得 ，表示以 为圆心半径为 的圆（不含圆周）的外部，是无界的多单连通域。
即 、 时，等式成立。
3．证明虚数单位 有这样的性质：
证明：
4．证明
证明：设 ，则
证明：设 ， ，则有：
证明：设 ， ，则有：
证明：设 ， ，则有：
证明：设 ，则有
证明：设 ，则
5．对任何 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些 值才成立？
解：设 ，则有：
故当 ，即 是实数时， 成立。
6．当 时，求 的最大值，其中 为正整数， 为复数。
4) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴的通过 的直线。
5) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴。
6) ；
解：设 ，则
即 是以 ， 为焦点，长的半轴为2，短半轴为 的椭圆。
7) ；
解：设 ，则
即 是过 的平行于x轴的直线及其下半平面。
8) ；
解：设 ，则
即 是去掉过 的半平面 。
9) ；
解：满足 的图形是不包含实轴的上半平面。
设 ，则 是该方程的三个根。
而
，
所以 是的三个根，即 分别是复数 的三次方根。又因为 ，所以 均匀地分布在单位圆 上，即 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法六）
如右图所示：
所以 为等边三角形。同理可知 为等边三角形，于是有：
同理 ，
，所以 均匀地分布在单位圆 上。命题得证。
19．如果复数 满足等式 ，证明 ，并说明这些等式的几何意义。
微分方程 有三个线性无关的特解： ， ，
微分方程 有三个线性实数特解： ， ，
一般解为：
16．在平面上任意选一点 ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
解：
17．已知两点 与 （或已知三点 ），问下列各点 位于何处？
1) ；
解： 位于 与 连线的中点。
2) ，其中 为实数；
解： 位于 与 连线上，其中 。
3) ；
解：设 ，则 ，表示介于直线 和 之间的带形区域（不含两直线），是无界的单连通域。
4) ；
解： 表示介于圆 与 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。
5) ；
解：设 ，由 ，表示直线 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。
6) ；
解： 表示由射线 与 所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。
证明：设 ，则：
，
其中， ， ， ， 皆为关于 的实系数多项式。
其中： ，
为具有实系数的关于 的有理分式函数。
2)如果 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ；
证明：因为 为具有实系数的有理分式函数，所以
其中： ，
3)如果复数 是实系数方程 的根，那么 也是它的根。
证明：令
因为 是方程 的根，
（方法二）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
同理： ， 。于是
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法三）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法四）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
设
而
同理 ，
即 同理 ，
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法五）
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
10．一个复数乘以 ，它的模与辐角有何改变？
解：设
即：一个复数乘以 ，它的模不变，辐角减小 。
11． 证明： ，并说明其几何意义。
证明：
几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。
12．证明下列各题：
1)任何有理分式函数 可以化为 的形式，其中 与 为具有实系数的 与 的有理分式函数；
22．证明复平面上的直线方程可写成： ，（ 为复常数， 为实常数）。
证明：设点 在直线上，则直线方程可写成：
又 ，
整理得：
令 ，则 。因为 不全为零，所以 。
是复平面上的直线方程（ 为复常数， 为实常数）。
23．证明复平面上的圆周方程可写成： （其中 为复常数， 为实常数）。
证明：设点 在圆上任意一点，点 为圆心，半径为 ，则圆的方程为：
解：
2)区域 在 平面上的象。
解：
27．证明§6定理二与定理三。
定理二如果 ， ，那么
1) ；
2) ；
证明：
1) ， ，则
，使 时，有
，使 时，有
取 ，则当 时，必有
成立。
故 。
2) ，则 及 ，使 时，
， ， ，使 时，有 ；
又 ，故存在 ，使 时，有
取 ，则当 时，必有
故 。
3) ，则 及 ，使 时，
整理得：
令 ， ，
是复平面上的圆的方程（ 为复常数， 为实常数）。
24．将下列方程（ 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：
1) ；
解：设 ，则
2) ，（ 为实常数）；
解：设 ，则
3) ；
解：设 ，则
4) ；
解：设 ，则
5) ，（ 为实常数）；
解：设 ，则
6) ；
解：设 ，则
第一章习题详解
1．求下列复数 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2．当 、 等于什么实数时，等式 成立？
解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：
又因为的系数为实数，
因此 。即 也是方程 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。
13．如果 ，证明：
证明：
证明：
14．求下列各式的值：
解：
解：
解：
即： ， ， ， ， ，
解：
即： ， ，
15．若 ,试求 的值。
解：
1)求方程 的所有根；
解：
即： ， ，
2)求微分方程 的一般解。
解：微分方程 的特征方程为： 。由前题得： ， ，
， ， ，使 时，有
，使 时，有
取 ，则当 时，必有
故 。
定理三函数 在 处连续的充要条件是： 和 在点 处连续。
证明： 在 处连续， ，即
，
即 和 在Leabharlann Baidu 处连续。
28．设函数 在 连续且 ，那么可找到 的小邻域，在这邻域内 。
证明：
函数 在 连续，即
可取 ，存在 ，使得当 时，有
又
即存在 的 邻域，在这邻域内 。
解：假命题。有两个数 ，使 成立。
6) ；
解：假命题。设有两个数 ，使 不成立。
解：真命题。
8．将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
解： ，
解： ，
解： ，
解：
另：
另：
解：
，
解：
9．将下列坐标公式写成复数的形式：
1)平移公式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
即：
2)旋转公式：
解：
即
的最大值是
7．判定下列命题的真假：
1)若 为实常数，则 ；
解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。
2)若 为纯虚数，则 ；
解：真命题。设 ，则 ，显然 。
3) ；
解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。
4)零的幅角是零
解：假命题。复数 的幅角是任意的，也是无意义的。
5)仅存在一个数 ，使得 ；
3) 。
解： 位于以 , , 为顶点的三角形的重心上。
18．设 三点适合条件 ， 。证明： 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
证明：（方法一）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
令 ， ，
其中 。 ， ，
或
同理可得： 或
分析：如果 ， ，则 ；如果 ， ，则 与 矛盾。 。
同理 。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
7) ，（ 为复数）。
解：设 ，则
25．函数 把下列 平面上的曲线映射成 平面上怎样的曲线？
1) ；
解：设 ， ，则
是w平面上的圆。
2) ；
解：设 ， ，则
且 是w平面上的直线。
3) ；
解：设 ， ，则
是w平面上的圆。
4) 。
解：设 ， ，则
是w平面上的直线。
26．已知映射 ，求：
1)点 ， ， 在 平面上的象；
31．试证 在原点与负实轴上不连续。
证明：当 时， 不确定，所以 在 处不连续。
当 点在负实轴上时，动点 从上半平面趋于 时， 趋于 ；而动点 从下半平面趋于 时， 趋于 。故 不存在，所以 在负实轴上不连续。
7) ；
解：设 ，由 ，表示以 为圆心半径为 的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。
8) ；
解： 表示以 与 为焦点长半轴 短半轴 的椭圆及其内部，是有界的单连通闭域。
9) ；
解： 表示以 与 为焦点实半轴 虚半轴 的双曲线左边一支的左侧，是无界的单连通域。
10) 。
解：设 ，由 ，表示以点 为圆心半径为 的圆及其内部，是有界的单连通闭域。
证明： 且
是等边三角形的充分必要条件是
因此，满足 的点 ， ， 为顶点的三角形是等边三角形，必有
20．指出下列各题中点 的轨迹或所在范围，并作图：
1) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为6的圆周。
2) ；
解：设 ，则
即 是以 为圆心，半径为1的圆周及其外部。
3) ；
解：设 ，则
即 是平行于y轴的通过 的直线。
29．设 ，证明 在 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数 ，使在 的某一去心邻域内有 。
证明： ，即 ， ，当 时，有 ，取 ，则有 。
30．设 。试证当 时 的极限不存在。
证明：（方法一）
设 ，则
显然，当沿着不同的路径 时， 有不同的值， 不存在。
（方法二）
令 ，则
于是 ，
沿着不同的路径 时， 的值不同，故 不存在，于是 不存在。
10) 。
解：设 ，则
即 是以 为端点的射线 ， 。
21．描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
1) ；
解：设 ，则 ，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。
2) ；
解：设 ，由 得 ，表示以 为圆心半径为 的圆（不含圆周）的外部，是无界的多单连通域。
即 、 时，等式成立。
3．证明虚数单位 有这样的性质：
证明：
4．证明
证明：设 ，则
证明：设 ， ，则有：
证明：设 ， ，则有：
证明：设 ， ，则有：
证明：设 ，则有
证明：设 ，则
5．对任何 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些 值才成立？
解：设 ，则有：
故当 ，即 是实数时， 成立。
6．当 时，求 的最大值，其中 为正整数， 为复数。
4) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴的通过 的直线。
5) ；
解：设 ，则
即 是平行于x轴。
6) ；
解：设 ，则
即 是以 ， 为焦点，长的半轴为2，短半轴为 的椭圆。
7) ；
解：设 ，则
即 是过 的平行于x轴的直线及其下半平面。
8) ；
解：设 ，则
即 是去掉过 的半平面 。
9) ；
解：满足 的图形是不包含实轴的上半平面。
设 ，则 是该方程的三个根。
而
，
所以 是的三个根，即 分别是复数 的三次方根。又因为 ，所以 均匀地分布在单位圆 上，即 是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法六）
如右图所示：
所以 为等边三角形。同理可知 为等边三角形，于是有：
同理 ，
，所以 均匀地分布在单位圆 上。命题得证。
19．如果复数 满足等式 ，证明 ，并说明这些等式的几何意义。
微分方程 有三个线性无关的特解： ， ，
微分方程 有三个线性实数特解： ， ，
一般解为：
16．在平面上任意选一点 ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
解：
17．已知两点 与 （或已知三点 ），问下列各点 位于何处？
1) ；
解： 位于 与 连线的中点。
2) ，其中 为实数；
解： 位于 与 连线上，其中 。
3) ；
解：设 ，则 ，表示介于直线 和 之间的带形区域（不含两直线），是无界的单连通域。
4) ；
解： 表示介于圆 与 之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。
5) ；
解：设 ，由 ，表示直线 右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。
6) ；
解： 表示由射线 与 所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。
证明：设 ，则：
，
其中， ， ， ， 皆为关于 的实系数多项式。
其中： ，
为具有实系数的关于 的有理分式函数。
2)如果 为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ；
证明：因为 为具有实系数的有理分式函数，所以
其中： ，
3)如果复数 是实系数方程 的根，那么 也是它的根。
证明：令
因为 是方程 的根，
（方法二）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
同理： ， 。于是
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法三）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法四）
, , 位于以原点为圆心的单位圆上。
设
而
同理 ，
即 同理 ，
是内接于单位圆 的一个正三角形的顶点。
（方法五）
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：
10．一个复数乘以 ，它的模与辐角有何改变？
解：设
即：一个复数乘以 ，它的模不变，辐角减小 。
11． 证明： ，并说明其几何意义。
证明：
几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。
12．证明下列各题：
1)任何有理分式函数 可以化为 的形式，其中 与 为具有实系数的 与 的有理分式函数；
22．证明复平面上的直线方程可写成： ，（ 为复常数， 为实常数）。
证明：设点 在直线上，则直线方程可写成：
又 ，
整理得：
令 ，则 。因为 不全为零，所以 。
是复平面上的直线方程（ 为复常数， 为实常数）。
23．证明复平面上的圆周方程可写成： （其中 为复常数， 为实常数）。
证明：设点 在圆上任意一点，点 为圆心，半径为 ，则圆的方程为：
解：
2)区域 在 平面上的象。
解：
27．证明§6定理二与定理三。
定理二如果 ， ，那么
1) ；
2) ；
证明：
1) ， ，则
，使 时，有
，使 时，有
取 ，则当 时，必有
成立。
故 。
2) ，则 及 ，使 时，
， ， ，使 时，有 ；
又 ，故存在 ，使 时，有
取 ，则当 时，必有
故 。
3) ，则 及 ，使 时，