四章功率谱估计

n
ejn
N
x
nN
nm
ejnm
1 2N1
lim 1
N
2
x n ejn
N 2N1 nN
6
辞海—谱
(1)按照事务的类别或系统编成的表册，年谱 (2)供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、
脸谱 (3)曲线：乐谱 (4)按歌词作曲，曲谱 (5)大致的依据、打算：心里有谱,做事没谱 (6)左右、大约：三十元之谱
mN
1
N
N 1
x
n0
n
x
nm
e j m
N 1
rˆxx m e j m
m N 1
28
1. 周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计 等价
2. 序列后面加零，FFT谱线变密，频率分辨 率并没有提高。
29
3. 周期图谱估计的 性能分析
30
(1) 均值
31
BT法谱估计
N1
P ˆxxej rxxmw 2Nmejm 1 m N1
U
1
M1
w2n
Mn0
归一化因子
Pˆxxej L 1 i L1Ii
63
2）在分组时，可使各组数据有重叠。方差
重叠最高可达50％。
64
小结
周期图法直接对有限长序列的观测值进
行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。谱
估计的结果仍时一个随机变量。
缺点： 不是一致估计，方差较大
4 x
。
增加序列长度并不能改善估计效果。
23
误差分析
EPˆBT ej 21 Pˆxx ej WR ej d
21Pˆxx ej WR ej
V a r P B Tej N 1V a r P ˆx xej m M M w R 2m
24
可以看出，方差小
M小
偏移小
M大主瓣窄，频率分辩率高
通常Ｍ取数据长度的 1 ．i.e.
51
1. 窗口处理法：（FFT出现以前）选择适当 的窗函数作为加权平均。
2. 平均周期图法：数据分段 求出各段的
平均周期图 取平均
3. Welch法：改进的Bartlett法
52
1.平均周期图
xn 0nN1
分L组，每组有M个数据，NLM
第 i组：
x i n x n i M M 0 n M 1 ,1 i L
其中，
w2Nm
Nm N
W2N ej FTw2NmN 1ssiinn(2N ())
2
32
由(1)式可知
E P ˆx xej 2 1P x xej W 2 Nej
因此，周期图是有偏估计
当 N时，W2N m1，其频谱趋近于
函数，周期图的估计属于渐近无偏估计
33
（2）方差
34
假设x(n)是实的、零均值、正态白噪声信号，
18
w2N m
N
m N
w 2 N
e j
1
sin
N
2
2
N
sin
2
P ˆxx ej rxx mw2Nmejm
m
19
20
w 2 N ( n ) 是由于截断数据而产生的，为了减
少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行 平滑处理。
设平滑窗为 w R ( n ) MnM.
N1 N1
N1 N1
N e e 2
j(12 )(nk)
j(12 )(nk)
N2
n0 k0
n0 k0
39
N1N1
ej12nk
sin1
2
2
2
N
n0 k0
sin1
2
2
N1N1
ej12nk
sin1
2
2
2
N
n0 k0
sin1
2
2
40
1 2
E
I
2 N
4 x
2
1 N2
x4
0
n k, p q;n p,k q; p k,q n;
38
E[IN (1)IN (2 )]
x4
[ RN2 (n) RN2 (p) RN2 (n) RN2 (k)ej(12)(nk)
N2 n
p
n
k
RN2 (n) RN2 (k)ej(12)(nk)]
n
k
x4
sin n sin
2
Var
I
N
E
I
2 N
E
2
I
N
4 x
1
1` N2
sin n sin
2
41
当N→∞时
VIN a r x 4 P x 2 x
周期图是非一致估计
42
上面的推导是以 x(n)~N(mx,x2)为依据进行 推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。
Cov(IN (1)IN (2))
55
如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、 方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，
因此，在一般情况下，估计方差的减小少于 1 L 。
当 L ,vP ˆ x a e x j r 0 ，功率谱越平滑。
估计的偏移量与方差是一对矛盾。偏移大小反 映的是频率分辨率。
当N确定， L,需要 M，方差减小，频率分辨 率降低。
3
维纳——辛钦定理
Pxx ej rxx mejm m 4
功率谱的另一种定义
rxxm E xnxnm
rxxm N li m 2N 11n N Nxnxnm
5
当信号具有遍历性时
Pxx
ej
lim
1
N
x
mN 2N1nN
n x nm ejm
Nli mnNNx
rˆxxmN 1N n m 01xnxnm
17
实际上，根据有限个观测数据来估计自
相关函数的，假设信号为 x n ，进入自相
关函数估计的为xNnxnRNn ， 估
计得到得自相关函数rˆxx m ，则
rˆxx m ExN n xN nm Ex n xnmRN nRN nm rxx mw2N m
1 N2
RNnRNkRNpRNq
nk pq
x(n)x(k)x(p)x(q) e e j1nk j2(pq)
37
E[x(n)x(k)x( p)x(q)]
E[x(n)x(k)]E[x(p)x(q)] E[x(n)x(p)]E[x(k)x(q)]
x4 nk pqx2 n p k q x4 pk qn
7
谱线
复杂振动用谱线表示时，代表各振动的 频率和振幅的一系列直线，谱线数反映了该 复杂振动所包含的谐振动的个数，各谱线的 长短。
8
考虑到 x n 是观测数据， Pxx ej 是随
机变量，取统计平均
P xx
ej
limE
1
Nxnejn2
N 2N1nN
9
二、谱估计方法的概述
10
现经代典谱谱估 非 参 估计线 数 计线 性 化 方性 谱 谱 法谱 估 估 ： 以 转估 计 计 信 化 直 计 间号 为 接接模 估 法法型 计 ： B： T为 法 信 周基 号 期 题 数础 模 图 ， 型 法
E[IN(1)IN(2)] E[IN(1)]E[IN(2)]
x4
sin1
2
2
N
N
sin
1
2
2
2
sin1
2
2
N
N
sin
1
2
2
2
43
若
1
2
N
k,2
2l,
N
，
k，l均为整数，则
2
2
Co INv1IN(2)x4Nssiin knkN ll Nssiin knkN ll
44
当 k l 且k+l不是N的整数倍时,
49
经典谱估计不可能获得良好的谱估计
2. 周期图法用到了m=0~N-1的全部相关函数
的估计值 F T Pxx 方差较大，BT
法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量 M<N-1来去掉那些不可靠的相关函数估计 值，但 M ↓ ,将FT的求和范围缩短，变换 式本身的近似程度↑ 。
50
三.经典谱估计方法的改进
CIN o 1 v IN 2 0
以
2 N
的整数倍为频率间距的周期图是
不相关的
N 协方差为零的功率谱样本之间的间
距↓，周期图的起伏增快。
45
46
BT法和周期图法的主要优点
计算量小 功率谱估计值正比于正弦波的功率 是一种良好的实用模型
47
主要缺点:
弱信号被强信号的旁瓣淹没 频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的
56
方差减小有明显效果
57
2. 窗函数法
58
选择一个适当的窗函数 wm与周期图卷
积，平滑周期图。
Βιβλιοθήκη Baiduˆxx
e j
1
2
IN W
e j d
M
rˆxx m w m e jm mM
M
rxx m w2N m w m e jm mM
59
由于 w m 的长度M<数据长度N，因此
e j
1
N 1
x
n
2
e j n
1
N 1
x
k
N n0
N k0
N 1
e j k x n e j n
n0
1
N 1 N 1
x
k
x
n e j k n
N k0 n0
m k n
1
N 1 N 1
x n x n m e j m
N m N 1 n0
N 1 1
65
自相关函数法
1. 随机序列值 估 计自相关函数
特征或信噪比无关 出现旁瓣，使谱失真 需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统
计特性 某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负
值
48
经典谱估计不可能获得良好的谱估计
rxxm F T P xx
1. m↑，参与求和项数↓，平均效果↓，m=N-1， 只有一项。→滞后量以较大的是不可靠的， 估计方差大。
13
4.2 经典谱估计
14
一、BT法
15
1. 1958年，Blackman和Tukey提出，在 1965年FFT算法出现之前，BT法一直是 最常用的方法。
2. 理论基础：维纳——辛钦定理
3. 自相关函数的估计 FT 功率谱的估
计
16
根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数 的估计优于无偏自相关函数的估 计
方差为 ， 则x 2 功率谱为常数
。 x 2
令 INP ˆxx ej N为数据长度
IN
1 Xej 21N1N1x k x nejkejn
N
Nn0k0
1
xk
Nnk
x nRN
nRN
k ejkejn
35
EINN1 n k ExkxnRNnRNkejnk
IiM 1 M n 01xinejn2
53
Pˆxx
1 L
L
Ii
i1
E
Pˆxx
E
1 L
L
i1
I
i
EIi
var
Pˆxx
1 L
varIi
54
信号的功率谱
P ˆxx ej2 1P xx ejW 2Mej
三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分 辨率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率 分辨率换取方差的减小。
21
功率谱
M
PˆBT e j
rˆxx m wR m e jm
mM
M
rxx m w2N m wR m e jm
(1)
mM
1
2
Pˆxx
e j
WR
e j
1
4 2
Pxx
e j
W2 N
e j
WR
e j
22
设 w R n 的持续时间为 MnM，需
要注意的是，考虑到功率的非负性，在选择 窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非 负值。
窗函数平滑周期图相当于加了一个短的截断 窗，使得频率分布率降低，偏移量上升，换 取方差的减小。
60
3. 修正周期图法 （Welch法）
61
Welch法对Bartlett法做了两方面的修正
（1）选择适当的窗函数，在计算各组周期 图之前加进去。
优点：无论什么样的窗函数，均可使
Pˆxx0
62
IiU 1M n 01xinwnejn2
12 x
Nnk
nk RN n RN k ejnk
N1x2
这里假设信号是实的白噪声信号，周期
图估计是无偏估计。
36
V a r [ I N ] E [ IN 2 ] E 2 [ I N ]
要计算周期图的均方值，先计算
E IN 1IN 2
EIN1IN2EN12
X ej1
2 X ej2
2
第四章 功率谱估计
1
谱估计的基本任务是根据有限个观测数 据，估计平稳随机过程的功率谱密度。
谱：频谱，功率谱 对于我们所研究的信号，随机平稳信号， 功率谱
2
4.1 引言
时钟, 日历: 经验谱 棱镜分解一束光:光谱 每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法， 具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近 似实际过程的模型；其次利用观测数据或自相关函 数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。
5
M N 5
25
二．周期图法
26
1.原理：
P xx
ej
limE
1
N1xnejn2
N 2N1n0
忽略求统计平均运算
Pxx
ej
1
N1
x
n
ejn
2
Nn0
用DFT计算功率谱
xn F F T X k P ˆxxkN 1X k2
27
2.与BT法的关系
Pˆxx
11
经典谱估计的缺点
频率分辩率低，这是由于有限个观测数据 加窗截断的影响。
主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊， 频率分辩率低。
旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信 号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信 号。
12
现代谱估计
估计质量比经典谱估计质量有很大提高， 需要针对不同的信号，选择合适的模型，但 目前尚未有任何理论来指导模型的选择。一 般来说，AR模型适合有谱峰的信号，MA模 型适合有波谷的信号。