三角形中的最值与范围问题

在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。请先看两个例题：

例1（13年重庆綦江中学）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4

1cos ==

a A . （1）若6=+c

b ，且b <

c ，求c b ,的值．

（2）求ABC ∆的面积的最大值。 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 2

12)(162--+= ∴8=bc ，

又∵,6=+c b b

解方程组⎩⎨⎧==+8

6bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．

∴4,2==c b

（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 2

11622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴3

32≤bc ，又415sin =A ∴3

154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC 即c b =时三角形最大面积为

3154 评析：本题知道三角形中的一条边和它的对角自然会朝余弦定理方向思考，结合余弦定理的特点和不等式知识把22c b +转化成bc 求出bc 的最大值，进而求出三角形面积的最大值。如果把本题换一种问法，则思考方向又有不一样的地方，下面再来看一个例题。

例2（13年重庆一中改编）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)sin sin ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→

b 。

（1）求角A ；

（2）求ABC ∆面积的取值范围。

解：（1）→

→⊥∴b a ，

01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ， 0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ，

即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故2

1cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A

（2） 由正弦定理334sin 2==

A a R C R C

B R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S AB

C sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 3

34B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2

sin cos sin 3332+= 3

32cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,2

1()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S

解析：本题第2问利用了正弦定理把面积公式中的边转化成了角，再用B 与C 的关系再次转化成B ，还用了倍角公式、降幂公式、辅助角公式等化成一个三角函数，最后用三角函数的图像求出ABC ∆的面积的取值范围。

其中例题1也可用本题的方法求出三角形面积的最大值，但很明显用不等式求最值更简单直接。

例题2也可用不等式的方法求出三角形面积取值范围的上确界，但却不能确定范围的下确界，所以在分析时要及时调头换一个思维方向。

在解三角形这一章中，求三角形的面积（或周长）的最值（或取值范围）是一类重要的题型，应引起重视。通过以上两例的解法不难看出，两类问题在问法上有相似之处容易混淆，在解法上虽然一个用了余弦定理和不等式、另一个用了正弦定理和三角函数的图像；但例题1也可以用正弦定理和三角函数的图像求出范围进而求出最大值，这更增加了两类问题的相似性。相比例题1单求面积最大值用了不等式解法的简答粗放，例题2求三角形面积取值范围所用的解法相对细

腻繁琐，属于精细化的解法。所以我们在遇到这类问题时要明确目标正确选择解题方法，以免解错或用了繁琐的方法。

下面请大家提起笔再次感受两种不同问题和不同解法的不一样的魅力： 变式练习：在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且C a A c b cos cos )2(=-,

（1）求角A 的大小；

（2）若4=a ，求ABC ∆周长的最大值。（或ABC ∆周长l 的范围）