导数压轴题训练

导数 压轴题训练

1．（2014 湖南）. 22．（2014 湖南）..已知常数0a >,函数()()2ln 12

x

f x ax x =+-

+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;

(2)若

()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.

【答案】(1)详见解析 【解析】解:(1)对函数

()f x 求导可得

()()24

'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()

22

4112ax a ax x --=++,因为

()()

2

120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调

递增,当1a ≤时,

()()21'0a a f x x -=⇒=±

,则函数

()f x 在区间()210,

a a ⎛⎫

- ⎪ ⎝⎭

单调递减,在()21a a ⎛⎫

- ⎪+∞⎪⎝⎭

单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得

()()2

4

'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()

224112ax a ax x --=++,因为

()()

2

120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调

递增,当1a <时,

()()21'0a a f x x a

-=⇒=±

,则函数

()f x 在区间()210,

a a a ⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

单调递减,在()21a a ⎫

-⎪+∞⎪⎝⎭

单调递增的.

2.（20）（2014江苏）（本小题满分14分）已知函数

x f x x

ae a

R ，x R .已知函数

y f x

有两个零点12,x x ，且12x x .

（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明

21

x x 随着a 的减小而增大；

（Ⅲ）证明 12x x 随着a 的减小而增大.

（2014四川卷）21（2014四川卷）．已知函数

2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈，

2.71828

e =为自然对数的底数。

（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；

（2）若

(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围

解：（1）因为

2()1x f x e ax bx =--- 所以()()2x g x f x e ax b '==-- 又()2x g x e a '=-

因为[0,1]x ∈，1x

e e ≤≤ 所以：

①若12

a

≤

，则21a ≤，()20x

g x e a '=-≥， 所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-

②若

122

e

a <<，则12a e <<， 于是当0ln(2)x a <

<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x g x e a '=->，

所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，

min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--

③若2

e a

≥

，则2a e ≥，()20x

g x e a '=-≤ 所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()

(1)2g x g e a b ==--

综上：()g x 在区间[0,1]上的最小值为min 11,,21()22ln(2),,222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ⎧

-≤⎪⎪

⎪

=--<<⎨⎪

⎪

--≥⎪⎩

（2）由(1)0f =⇒10e a b ---=⇒1b e a =--，又(0)0f =

若函数

()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间

由（1）知当12a ≤

或2

e

a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。

若

122

e

a <<，则min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a a

b a a a e =--=--- 令3

()

ln 12

h x x x x e =---（1x e <<） 则1()

ln 2h x x '=

-

。由1

()ln 02

h x x x '=->⇒< 所以()h x

在区间

上单增，在区间)e 上单减

max ()110h x h e e ==

--=--<即min ()0g x <恒成立