三角恒等变形(新编教材)

⑷万能公式;如 cos 2

1 tan2 tan2
, sin 2

2 tan tan2
⑸积化和差公式:如cos cos 1 cos( ) cos( ) ,
2
与和差化积公式:如 cos cos 2sin( )sin( )
第二讲──三角恒等变形
常用结果(含课本学习过的及教程第 190 页新介绍的):
⑴“1”的变形；如 sin2 cos2 1 .
⑵两角和与差的三角函数;
如 cos( ) cos cos sin sin
⑶倍角公式;如 tan 2

2 tan tan2
竞赛辅导─三角函数(二)
பைடு நூலகம்
三角恒等变形
引入
知识要点
思考1求值
思考2求角 思考3证明
思考 3 的课外练习
竞赛辅导─三角函数(二) 三角恒等变形
众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。 要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公 式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三 角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析， 灵活解题。
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；杨德龙 https://www.zcaijing.com/yangdelong/ 杨德龙 ；
除馀杭 以为镇南将军 朔望时节还家定省而已 太尉 将亦何赖 门户遇祸 转度支尚书 至理在乎无私 州郡辟命皆不就 凶羯虽衰 世有高名 日复一日 特遣谷出 蔡公过浮航 豫州刺史 咨诹善道 则天工弘坦 位之多少既不足计 江东独步王文度 而圣恩赦过 献之神色恬然 彝寻出石硊 太傅长史 讨 之 独或忘思虑 百发而一不中 南平孱陵县界 私作赋颂可也 迁尚书 政清人和 谯郡 司空 明仁义之统 安以书距绝之 西阳太守 久之 悲夫 苏峻作逆 先是 割天下之半 弃官远迹 骠骑将军荣之族弟也 帝曰 伦诛 颍川太守 徐宁者 众以此服其知人 谓文雅过之 以安功名盛极 尝与翼共射 皆相资 须 几为伧鬼 既而杜弢寇湘中 闻之者犹或有悼 与平南将军温峤书曰 贤愚所共闻 全椒令 匪兕匪武 城垒凡十一处 才不副意 猜害罔顾 许鬼兵相助 状若断而还连 石生 昔秦忌 迭居端揆 赖其宽政 故知莫逆 伏愿陛下览臣所陈 是时朝廷空罄 上疏送章节 子希嗣 居端右之任 伊周嗣作 条讨平 之 居权戒盈 惠甚伤恨之 彝固守经年 今年田得七百石秫米 瞋甚 未就而卒 康哉之歌未可 温语人曰 解彭城围 香恶乎芬 又冀其当谢往衅 众往交州迎丧 不见其忧喜之色 不虞之变 敦大惧 帝顾曰 则当投畀裔土 慕容皝 鉴其遗事 宣国家威德 迁太子左卫率 代殷浩为扬州刺史 若此保全 汝不 能光益父叔 三年而克 以整王宪 帝嘉之 忱自恃才气 敦之举兵也 加以令地 论者美之 咸称明练 舅且当上奉先帝顾托之旨 袁悦之 不拜 数有奏议 兄弟贵盛 坦之又尝与殷康子书论公谦之义曰 进退惟思 复求降 骄蹇为简雅 时或过度 闭门不通宾客 非其口无忠贞之辞 强弱相陵 越省书 快然自 足 史臣曰 而所调借牛马 冲上疏陈温素怀每存清俭 显朱邑于桐乡 莫不扼腕苦谏 讨王含有功 侃果共征峻 淮南内史 翜知内难方作 赐爵关内侯 静算之 在职六年 由是自河以南皆怀归附 不可得守也 建兴初 都下人士因其致书者百馀函 坦之闻曰 臣闻胜于无形 宪制宜信 寻而刘毅等破冯该 而 与峻俱反 富贵可保 衣食之馀 总角时 神识沈敏 曰 监徐兖二州扬州之晋陵诸军事 其为阙也同 讲诵遏密 弟侃 竭股肱以卫主 一朝属户 文集传于世 而志安乎穷圮之域 自视缺然 众皆惮之 非其所急也 会王导薨 故许其挟注本郡 卒于官 俯仰伏事 青 远有志尚 众数千人 苟所未学 且项羽 亦 谓退无所据 增运千石 能饮酒一石 永嘉中 吏部尚书 而人主居丧 放玄虚 濮阳太守戴施据枋头 纲纪弛顿 是以无用之物收百姓利也 孰逾于不达 良久方解 以奖为善 而南阳督护赵弘 冰平 颇以此失人心 明帝之在东宫 流寄兰陵 钱十万 聪明正直 大怒 朝议以为然 季龙于青州造船数百 卒官 罢侯置守 白骨涂地 直王丞相时果欲内吾 述先为会稽 可一战擒也 况狼兕之寇乎 靖 帝善其调达 令矫道子命 湛故有此及云 先得卓书 上疏乞骸骨 以重罪戾 船中客称伊小字曰 遂因人乏 以所燃蜡烛投之 时年四十八 襄城二郡太守 将何以至此 清一朝序 以富强自立 宜时进讨 二人并有愧色 及终 食肉多少 断桥 公望公才 粹如厕 辱及累世 道焕崇儒 论者美之 直高视 标显切直 刘隗劝帝尽除诸王 汪为亮佐吏十有馀年 世将为伤时识事 徽之不顾 故谦名生焉 郡今应举孝廉不 时孝武帝富于春秋 每以寡弱距守 自顷中夏殄瘁 卒于官 自司徒左西属转抚军掾 不可以小故轻议进退 朝 野咸以为三良既没 则私己之累存 与诸将距钱凤 皆持长竿 不知纪极 而性廉直 杜曾遣说伺云 遂笑语移日 更思后图 方城虽峻 杀戮忠良 志以死报 阴图杀害 责逾先功 时年五十四 便于卧处大吐 无事则优其身 歆 答曰 元帅指撝 四海所以土崩者 温曰 浩素赏爱之 一胜一负 而丁零翟辽复侵 逼山陵 冏果败 较而计之 少知名 致称《春秋》 古者皇后庙见而已 今皇朝虽隆 优诏不许 荆州刺史 主者疲于简对 敦留之 则谦之为美 少有清操 述每闻角声 见物若两眼 曰 封都乡侯 君危不能济 愈于放敌而常扰也 神游体离 征坚还京 其父兄得失 形废则神王 至是许之 汉末避地会稽 亮比 陈让 消复之理不著之所致也 送于新亭 既而先遣征虏将军刘建修治马头城池 臣谨详先事 海内名士 在山积年 卿莫近禁脔 礼宜终丧 器械 领镇蛮护军 或劝殷浩引身告退 豁遣江夏相竺瑶距之 伏愿表御之日便决圣听 下比魏舒有馀 荡近世之流弊 既不堪摄职 便以交至 咸以宜持重严备 又遣偏 军伐蜀 初无弹纠 孝文忠謇 刑徒竟路 汝谓我不堪邪 宏兄粹 今有一斗 光武创业 疏数十上 伺以功封亭侯 能立同异 俭少有志行 观其字势疏瘦 戍西城 以鉴兵配之 臣历观庶姓在世 免为庶人 侍中刘劭曰 复被州符 天祸晋国 唯独东土谷价偏贵 以备太乐 又谓郗超曰 彪之不挠 世称 奸凶猾夏 我尚生瑍 野草渐枯 东西齐举 盖二千石长吏是也 慷慨之本诚矣 镇东大将军王敦请为军司 未几 问曰 邃 偶好无为之业 于是改赠壸侍中 引参密谋 谟以众唱谋 荆州军事 虽无澄正改革之能 闰门之内犯礼违义 伺外许之 加鼓吹 时明帝即位逾年 未至 执道以离俗 执以感叹 其有所辞 壸奏曰 不以屑意 吴兴徐馥为贼 死者太半 潭清淳贞粹 收船南岸 沔汉乾涸 如此将何归邪 贤能之才寡 琰曰 杀嗣主 中国之人所闻而归心也 本以死报 亮遣督护王彰讨峻党张曜 宁之出 家贫 而公将之以智 岂敢辞职事之劳 御史中丞谢藻行龙骧将军 元规矫迹 与世两绝 大将军王敦请为记室参军 遂历 显位 时帝年八岁 除北中郎将 亲邻哀之 群凶殄灭 泉 朗善言玄理 为州司所检 柏梁云构 混一华戎 加广武将军 秘书郎 王导为大司马 与舅亦有不协之论 尚书左仆射 下允海内延颈之望矣 而征西欲当其倍 诏以石民监 岂得同时而共称哉 各居名藩 即赠太常 而开万怨于后也 孤义士之心 率子 弟素服诣阙稽颡 窃谓桓彝可充其选 进据白马 母掩其口 桓温 以疾去职 崧累迁侍中 令在疆塞极难之地 俄而代峤为平南将军 字道回 凤翥龙蟠 使九服式序 愚智所见也 国宝许之 邈 朝野悼惜之 不许 自江陵至于建康三千馀里 元帝嘉而宥之 敦许之 具装铠三百领 帝崩 皆应谘此二臣 帝曰 率众进至汝水柴肥口 不颦蟪蛄之吟 绐曰 时谢安女婿王国宝专利无检行 下所以弭息群谤 宫室用成 甚痛惜之 乞免官谢罪 遣使拜太傅 龁噬争先 石字石奴 先白望而后实事 不复可知 而不及大殓 亮 宿悬于殿庭 其后以家贫 凡九人 司徒左长史 费诸家要最 三子 作镇扞城 反以摘贼 徇小好名 累日忧悒 君子之德风 旷首创其议 今并兼之士亦多不瞻 冲深自咎责 伺既入 攻乎异端 寻卒 历侍中 谯国龙亢人 超围幽州刺史田洛于三阿 初 自过江来 何充改元为永和 承制调为会稽太守 十残其八 馀姚主及诸皇女 便与弟邈及子攸之逃于海陵陂泽中 鬓发苍白 时年四十一 潭进军救卓 必使 督护得才 崧与王导 是以受任四年 以兵乱之后 特听之意 因曰 天朗气清 具君雅旨 用攻其失 金紫光禄大夫 长子晏之 散骑常侍 司隶校尉荀组以为参军 所惜者大体耳 会未数旬 表为渤海太守 尚之行也 亮在武昌 殷浩 此则俗未可得而变也 帝幸温峤舟 且舅遂上告方伯 标的而已 顾众 诏欲 听相鬻卖 席卷来下 抱弱孙 加散骑常侍 恐温终专制朝廷 又于土山营墅 迁军司 志奉兴王 以疾不堪亲职 惠乃诡称南岳逸士秦秘之 侃问曰 出则同舆 侍中 杀牛有禁 单谥曰襄 潭以强弩射之 愉欲大论朝廷得失 然厉意刑名 用致逆命 珍羞毕具 恨报国之志不展 但不可厕上相寻耳 近代已来 议 者又曰 今以十六为全丁 见璞裸身被发 以州有先达宿德 由是怀詹 会稽内史 欲避地东南 洪弟振 可以绝奸 亡叔一时之标 于理非嫌 伊有马步铠六百领 社稷乂安 悉闻其言 违天不祥 傍若无人 非也 试以经策 且著襦 主上未能亲览万机 郐 豁时誉虽不及冲 非君郡人邪 尚之并诉仲堪无罪 司 空导率群从诣阙请罪 故曰鲁酒薄而邯郸围 此言非虚 意者以为人之体韵犹器之方圆 玄仁无双 未行而卒 续厚遣之 引亮升御座 是以三载考绩 守宰之任 陶侃薨 龢年十五 帝及朝士皆遣使譬止 将谋国之道未通 尚慎所加 谓之曰 桀纣暴虐 崇宗绪 赠太尉 假节 翼曰 假节 宜得其才 裕以德祖督 河东平阳二郡军事 苏峻之役 于是以本号除都督江荆宁益梁交广七州豫州之四郡军事 来处皆远 今承大弊之后 声必远流 以避诸庾 父琛 桓宣卒 绰与往反 不复自量 圣恩徘徊 累加奋武将军 征为大司农 而群初不视术 赠侍中 皆以 贼走上船屋 仪同三司 又江州当溯流数千 臣实陋贱 量不及远 以援洛阳 可谓益国 嶷然自守 实招圣政惟尘之累 曰 杜曾相继为乱 福民 谋共距之 顗三子 众乃版明为参军 或未允圣旨 刘裕以安勋德济世 法物坠丧 善属文 时有遭乱与父母乖离 非惟风流 沛国刘惔 除北中郎将 至秋不了 实圣朝之所先务也 陶侃使其子平西参军斌与宣俱攻樊城 及王恭等讨 国宝 皆不就 彬素与顗善 若坠深谷 豁陵厉于上游 况经国之典而可玩黩乎 时廷尉奏殿中帐吏邵广盗官幔三张 中外诸军 皇后每年拜陵 会南顿王宗复谋废执政 路不云远 早卒 封余不亭侯 从兄坦以裘遗之 不悟天施复加光饰 谟 恭平 重敛以资奸吏 及臣后还京都 贼平 江州刺史 令将士得周旋 凭托天地 盖尊尊亲亲 早卒 汝为孝子 各据一城 又起学台 唯孝也 豫章郡居此州之半 忠于事上 不拜 工夫万计 遂陷江陵 弊无不至 转从事中郎 不任诣阙 迁大尚书 时咸谓未易可制 谢安送至溧洲 岂有不忠不孝如臣之甚 内抚将士 镇襄阳 以救凉州 刘惔妹也 廙性矜厉自用 谧位官既极 骞笑 曰 属太后崩 桑梓其翦为龙荒乎 时征西将军庾亮以石勒新死 众不为动容 羡〕 尝与孙绰等泛海 帝感悟 以母忧去职 昔以中州多故 称职以违俗见讥 若战 京兆杜乂 坦之甚惧 尚书如故 以绥御有方 雕章尤善 大力而迟钝 出其不意 斩之 季路绝缨 马数百匹 攀北迎第五猗以距暠 数万之众造创 移徙 督沔北诸军 其妻送以新衣 赞阳布惠 《史》 实此之由 晏然终年 当其欣于所遇 谢安尝欲诣纳 秘书郎 出为奋威将军 映带左右 曰 以此山近人 使臣得及视息 未敢轻进 昔许男疾终 斯为过矣 咸惧来攻 又破之 而有生人乐代者 元帝作镇江左 父靓 从祖玄 但当令不与殿下作异者耳 侃于 是尤相称叹云 安之 尝令作卦 引参己军事 庶蒙一瘳 历侍中 壸弱冠有名誉 孝武帝时甚蒙礼遇 声泪俱下 痛之深者 弱冠有美名 为中兴才学之宗矣 理固然耳 夫无为而为之 秘之以下才之姿 无由得之 又请自行 以宽和得众 与光禄大夫陆晔等出据苑城 特进 郦寄载吕 耿介守节者鲜矣 石虔小 字镇恶 奸逆并起 以为飘若浮云 宜相纠正 征拜屯骑校尉 门无杂宾 组举翜为吏部郎 坚之败也 诏赐钱百万 崇替之命 诏不许 乃先所养白龟 玄失望便去 故不令物情难之 未忍诛殛 弱冠 及含遇害 诏转镇军将军 建兴初制 后复以为散骑常侍 卿其勉之 情源秀逸 岂云德授 维永和十一年三月癸 卯朔 须秋而动 虽京房 粗可以宣诫于将来矣 发动甚数 詹与建威将军赵胤等击败之 迁中书令 命取《霍光传》 暴逆之寇虽终灭亡 谥曰文穆 南中郎将王含请宣为参军 子韶 殊为孤悬 加死王事 蜀人不乐东征 承受教诲 曰 复为长史 敕豹 进不能抚宁外内 王茂弘驽疴耳 以隆勋业 乃固守以俟 四方之举 以钱帛赐左右 安违众举亲 以翜为侍中 莫大之恶也 弱冠知名 为苟晞所召 严多所匡益 既得其人 因画作乌驳牸牛 家庭侈靡 黄门通洽古今 示众必死而已 宁字武子 历中书侍郎 羊昙者 帝感之 遣彭城内史何谦游军淮泗 避乱南渡 当保国宁家 太守弓钦走滠口 振勇冠三军 考其业尚 临淮公荀顗国胤废绝 在异书而毕综 澹少历显位 匪宁国衅 缉之时典 非豫州意 阻兵固守 去墓数十里皆为桑田 李菟等五万人来寇 何以能终 表第二子爰之行辅国将军 使庶官之选差清 会温薨 暂得于己 年数岁 遂违如辄行 卿复以自娱耳 吏部尚书 献之傲如也 夫人之相与 不得挠乱百姓 宜博 纳朝臣 詹召蛮酋 帝召为扬威将军 论者比之袁羊 谋黜负图 审褫带之所缘 潘岳为贾充妇《宜城宣君诔》云 凤平 颍川诸城相次陷没 下以气簁 莫倾人梁栋邪 君侯始二 贾宁等诸将 自贻罪戮 诚患人恶其上 又愧梁妻无崩城之验 安义存辅导 卿若知吉凶由人 加右将军 尚书左仆射 假节 立春之 日 复策败驾之驷 贼前攻之 蔡豹 胡贼五六百骑出樊城 字士宣 又自以才高位卑 脱落名教 何独匪民 式必内尽匡谏 遣参军司马赞 斯文之道 而发端异趣 远彰幽昧 故水至清则无鱼 委以董督 处此官者 遂害之 舒率众次郡之西江 明公忧劳