《高等数学教学课件》第十章.10.1-10.2.ppt

i 1
(i ,i )
•
i
x
3.二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)在有界闭区域D 上有定义，将闭区
域D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ， n ，其
中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个
i 上任取一点(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
第十章 重 积 分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
• 二重积分的引入 • 二重积分的概念 • 二重积分的性质
一、问题的提出 1．平顶柱体的体积 =底面积× 高 特点：平顶.
2．曲顶柱体的体积 =？ 特点：曲顶.
z
二、二重积分的概念
1．什么是曲顶柱体？
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，在
点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在D 上
连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， y
小块将其近似看作均匀薄 片，所有小块质量之和近 似等于薄片总质量（极限）
n
o
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
(i 1,2,, n)，
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i
) i .
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
例1. 比较下列积分的大小:
( x y )2 d 与 ( x y )3 d
D
D
其中D由x轴、y轴与直线
所围成区域.
解： 由已知得积分区域D ：
x y 1, x 0, y 0.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
步骤如下：
(1)先分割曲顶柱体的
z
底，并取典型小区域 i
z f (x, y)
D
D
性质２ [ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
从而 ( x y )2 ( x y )3
( x y )2 d ( x y )3 d
D
D
y 1D o1 x
x y 1
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D1
又 I2 （x2 y2 )3 d ,其 中D2 {( x , y ) | 0 x 1,0 y 2 }.
D2
试
用
二
重
积
分
的
几
何
意义
说
明I1与I
之
2
间
的
关
系.
答：I1与I2之间关系为：I1 4I2
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
由第五章求曲边梯形面积的方法就不难想到下 面的解决办法：
用一组曲线网将xoy面上的区域D划分为n个小区域
, 1
2
(sigma(西格玛) 小写σ 大写Σ) n
分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线
平行于z轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体．当这些小闭区域的直径很小时，
这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体．在每个
D
y
记f R(D).
(5) 面积元素为 d dxdy
D
可写为 f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
o
x
(6)v f(x,y)dσ, m ( x, y)d D D
P136：2、
设 I1 （x2 y2 )3 d ,其 中D1 {( x , y ) | 1 x 1,2 y 2 };
o
y
x
的边以界x曲oy线平C面作的准有线界而闭母区线域平D行为于底轴、z的侧柱面面是，以D
顶是曲面 z f ( x, y ), 这里 f ( x, y ) 0.
且在D上连续所形成的立体称为曲顶柱体（如上图）。
2. 其体积V怎样计算？
显然பைடு நூலகம்平顶柱体的体积=底面积×高，而曲顶 柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计 算呢？
i ( i 1,2, ,n ) 中各任取一点 p(i ,i )
以f ( i ,i ) 为高,底为 i 小平顶柱体体积为:
vi f ( i ,i ) i ( i 1,2, ,n )
这n个平顶柱体体积之和
n
f ( i ,i ) i
i 1
n个小闭区域的直径中最大值记作λ
当λ →0时，取和的极限存在，所得的 xD
面
积 元 素
积 分 和
式
(2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，或分片连续且有界，定
义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱 体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值．
(4) 若 f ( x, y)d存在，称f ( x, y)在D上可积，
(2)近似:vi f (i ,i )i
(3)用若干个小平顶柱体
体积之和近似表示曲顶
o
y
柱体的体积，
v n vi n f (i ,i )xi
D
(i ,i )
•
i
i1
i1
n
(4)取极限:曲顶柱体的体积
其中
max 1in
i
V
lim 0
i1
f
(i ,i )i.
２．求平面薄片的质量
极限就定义为所求曲顶柱体的体积
zz f (x, y)
o
•
(i ,i )
i
综合起来：分割、近似、求和、取极限.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．