2.4 (绝对)连续型随机变量
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dF ( x ) f ( x) dx
(3)对任意实数c，则P{X=c}＝0。 (4)
P{a X b}＝P{a X b} P{a X b} ＝P{a X b}＝ f ( x)dx
a b
证明
x
(1) F ( x x) F ( x)
f (u)du
dx
1.5
例5.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设 [0，t]时段内过桥的汽车数Xt 服从参数为t的泊 松分布，求T的概率密度。 解
F (t ) P{T t}
当t ≤0时， F (t ) 0 当t >0时， F (t ) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
G( x) P{X x}
G( s t ) G( s)G(t )
G( x) a x
例 4.电子元件的寿命X(年）服从参数为0.1的指数 分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年， 求它还能使用两年的概率为多少？
解
0.1e f ( x) 0
1 P{X t 0} 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t 0 t0
3. Gamma分布 ( , )
1 x f ( x)＝ x e I ( x 0) ( )
则称X服从参数为>0, >0的Gamma分布，记为 X ~ ( , )
记作 X ~ N ( , 2 )
N ( , 2 ) 的图形特点 (II)正态分布
x
x
(a)正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形 曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
(b)图形关于直线 x = 对称, 即 f ( + x) = f ( - x)
(c)在 x = 时, f (x) 取得最大值 x = ± 为曲线 y = f (x) 的拐点; 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线;
当x 2时， F ( x) 1
0, x 0 1/ 2 x 2 , 0 x 1 F ( x) 1/ 2 x 2 2 x 1,1 x 2 1, x 2
P{X(0.5,1.5)}=F(1.5)-F(0.5)=3/4
例2、设X的密度函数为
a b
a b
b
a
连续性型随机变量定义
f (u)du f (u)du f (u)du
a
f (u)du
a
注1 密度函数的几何意义为
P(a X b)＝ f (u)du
a
b
注2 强调 概率为0 (1) 的事件未必为不可能(必然)
事件.
Y
如图，设试验T 为“ 随机地向 边 长为1 的正方形内投点” 事件A
1)求X的分布函数F(x),2)求P{X(0.5,1.5)} 解：当x 0时， F (x ) 0
当0 x 1时，
F ( x ) tdt
0 x
1 2 x 2
当1 x 2时，
F ( x) tdt (2 t )dt
0 1 1 x
1 x2 2x 1 2
1 n，当n
时，概率趋于0。
说明r.v.X 落在（a, b）区间上的任一点的可能性 都相同。
注2 均匀分布的特征性质
均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是: (1) r.v.X 落在(a, b)区间内的概率为1, 落在(a, b)区间 外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比。
Th1( 密度函数的特征性质)
(1) 非负性 f (x)0，(-<x<)； (2) 规范性
f ( x)dx 1. ＝
注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影 响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率密度 函数不是唯一的. 注2 对满足上述两条性质的任意函数必是某一随 机变量的密度函数.
越大，X落在附近概率越小，图形越扁平； 越小，X落在附近概率越大，图形越尖峭；
实例
年降雨量问题，我们用上海99 年年降雨量的数据画出了频率直方图。
2.4 (绝对)连续型随机变量 一、连续型 r.v.的概念 定义 设随机变量X 的分布函数为F ( x )， 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得
F ( x)＝P( X x)＝
x
f (u )du
则称 X 是 连续型 r.v. ，称f ( x )为r.v. X的 概率分布密度函数( p.d.f. )
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
注1 对任意实数c, d (a<c<d<b)，(c, d ) (a, b)
都有
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
解释: 将(a,b)区间n等份，则落在每个小区间的 概率均为
x x x
x x
f (u)du
x
f (u)du
f (u)du
x
f (u)du
定义
x x
x
x 0 f (u)du 0
所以F ( x )为连续函数；
(2)
dF ( x) F ( x x ) F ( x ) lim x 0 dx x （1） 1 lim x 0 x
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由高 斯(Gauss)加以推广，所以通常称 为高斯分布.
(I) 正态分布的定义 若X 的 p.d.f. 为
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
亦称高斯 (Gauss)分布
x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布。
2)
( x)dx 1
3) 对任意连续函数 g (x) ，有
或
g ( x) ( x)dx g (0)
g ( x) ( x x0 )dx g ( x0 )
例1：已知随机变量X的概率密度为
0 x 1 x f ( x) 2 x 1 x 2 0 其它
1
为“点投在黄、蓝两个三角形内, 不落在对角线上” , 1 x 求 P( A)
S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
0
注3
P{x X x x}＝F ( x x) F ( x)
1 2
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
(d)从图形来看： P{ - x <X }= P{ <X +x},
有如下性质：
F ( x) F ( x) 1 F ( ) 0.5
其中F(x)为随机变量 X的分布函数。
1 F ( x) 2
x
例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分
发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻
随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的
概率。
15
45
解：设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P( A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60}
1 e , x 0 F ( x) P{ X x}＝ 0, x 0
x
指数分布的特征性质
非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件
是: 无记忆性,即 P{X s t | X s} P{X t}, s, t 0
证明
P{ X s t | X s} P{ X s t} P{ X s} 1 F (s t ) e t P{ X t} 1 F ( s)
5 20 5 1 60 2
2. 指数分布 Exp( ) 若r.v.X的p.d.f.为
f (x)
x
e x , x 0 f ( x) ＝ e x I ( x 0) 0, x 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
则称X服从参数为>0的指数分布,记作 X~Exp(). 其分布函数为
i 1
若记 ( x) dU ( x) / dx 为
U (x)
的广义导数，则离散
型随机变量的密度函数可以写成
f ( x) pi ( x xi )
i 1
这样离散与连续型随机变量就一致起来了。 需要指出的是有下列重要的性质
0 x 0 1) ( x) x 0
e
( t )2 2 2
dt , x
(e) 正态分布 N ( , 2 ) 的图形形状
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x
1）决定了图形的中心位置，固定，则图形完全 由确定，图形的形状不变，的改变，相当于图 形平移。 2）固定，则图形完全由确定.
Ax(3x 2) 0 x 2 f ( x) 其他 0
试确定常数A,并求 P(1 X 1)
f ( x)dx 1
2
0
Ax(3x 2)dx 1
0
1 A 12
1
P(1 X 1) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
0.1 x
x0 x 0,
(1) P{ X 2} 0.1e0.1x dx e0.2
2
(2) P{X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}
0.1e
0.1x
dx e
0.2
3.5
0.1e
0.1 x
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d. f.
1 证明 f ( x) 1/ 2e
x
为概率分布密度函数。
2 设随机变量X的概率密度为
f ( x) ae
求常数a.
x
答:
1 a 2
Th2 设连续型r.v. X 的分布函数（c.d.f.)为F ( x ), 概
率分布密度函数(p.d.f.)为f ( x )，则 (1) F ( x )为连续函数；（绝对连续函数） (2) 若x是f(x)的连续点，则
f ( x)x
设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F ( x) 1 1 e x 2 x0 x0
求 f (x)
注4从上节已经得到离散型随机变量的分布函数为
F ( x) pi U ( x xi )
0 x 0 其中 U ( x) 1 x 0
1 1 0
1
1 1 x (3 x 2) dx 0 12 6
1
二、几个常用的连续型分布
f (x)
1. 均匀分布 U(a, b) 若r.v.X的p.d.f.为
0
。
。
b
a
x
1 ,a x b 1 f ( x) b a I ( a x b) ba 0，其它
( 1) ( ) 1 x ( ) x e dx ( n) ( n 1)! 0 (1/ 2)
说明 ( ,1) Exp( )
4.正态分布
正态分布是应用最广 泛的一种连续型分布. 德莫佛（De Moivre)最早发现 了二项分布的一个近似公式，这 一公式是正态分布的首次露面.
x x
x
f (u )du
f ( x)
(3) 0 P{ X c} P{c X c}
F (c ) F (c ) 0
对任意实数c，有 P{X=c}＝0。
(4)
F(x)的连续性
P{a X b} F (b) F (a) f (u )du f (u )du
(3)对任意实数c，则P{X=c}＝0。 (4)
P{a X b}＝P{a X b} P{a X b} ＝P{a X b}＝ f ( x)dx
a b
证明
x
(1) F ( x x) F ( x)
f (u)du
dx
1.5
例5.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设 [0，t]时段内过桥的汽车数Xt 服从参数为t的泊 松分布，求T的概率密度。 解
F (t ) P{T t}
当t ≤0时， F (t ) 0 当t >0时， F (t ) P{T t } 1 P{T t } =1- {在t时刻之前无汽车过桥}
G( x) P{X x}
G( s t ) G( s)G(t )
G( x) a x
例 4.电子元件的寿命X(年）服从参数为0.1的指数 分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年， 求它还能使用两年的概率为多少？
解
0.1e f ( x) 0
1 P{X t 0} 1 e t
于是
e t f (t ) F ' (t ) 0
t 0 t0
3. Gamma分布 ( , )
1 x f ( x)＝ x e I ( x 0) ( )
则称X服从参数为>0, >0的Gamma分布，记为 X ~ ( , )
记作 X ~ N ( , 2 )
N ( , 2 ) 的图形特点 (II)正态分布
x
x
(a)正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形 曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
(b)图形关于直线 x = 对称, 即 f ( + x) = f ( - x)
(c)在 x = 时, f (x) 取得最大值 x = ± 为曲线 y = f (x) 的拐点; 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线;
当x 2时， F ( x) 1
0, x 0 1/ 2 x 2 , 0 x 1 F ( x) 1/ 2 x 2 2 x 1,1 x 2 1, x 2
P{X(0.5,1.5)}=F(1.5)-F(0.5)=3/4
例2、设X的密度函数为
a b
a b
b
a
连续性型随机变量定义
f (u)du f (u)du f (u)du
a
f (u)du
a
注1 密度函数的几何意义为
P(a X b)＝ f (u)du
a
b
注2 强调 概率为0 (1) 的事件未必为不可能(必然)
事件.
Y
如图，设试验T 为“ 随机地向 边 长为1 的正方形内投点” 事件A
1)求X的分布函数F(x),2)求P{X(0.5,1.5)} 解：当x 0时， F (x ) 0
当0 x 1时，
F ( x ) tdt
0 x
1 2 x 2
当1 x 2时，
F ( x) tdt (2 t )dt
0 1 1 x
1 x2 2x 1 2
1 n，当n
时，概率趋于0。
说明r.v.X 落在（a, b）区间上的任一点的可能性 都相同。
注2 均匀分布的特征性质
均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是: (1) r.v.X 落在(a, b)区间内的概率为1, 落在(a, b)区间 外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比。
Th1( 密度函数的特征性质)
(1) 非负性 f (x)0，(-<x<)； (2) 规范性
f ( x)dx 1. ＝
注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影 响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率密度 函数不是唯一的. 注2 对满足上述两条性质的任意函数必是某一随 机变量的密度函数.
越大，X落在附近概率越小，图形越扁平； 越小，X落在附近概率越大，图形越尖峭；
实例
年降雨量问题，我们用上海99 年年降雨量的数据画出了频率直方图。
2.4 (绝对)连续型随机变量 一、连续型 r.v.的概念 定义 设随机变量X 的分布函数为F ( x )， 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得
F ( x)＝P( X x)＝
x
f (u )du
则称 X 是 连续型 r.v. ，称f ( x )为r.v. X的 概率分布密度函数( p.d.f. )
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
注1 对任意实数c, d (a<c<d<b)，(c, d ) (a, b)
都有
1 d c P{c X d }＝ f ( x)dx＝ dx＝ c c ba ba
d d
解释: 将(a,b)区间n等份，则落在每个小区间的 概率均为
x x x
x x
f (u)du
x
f (u)du
f (u)du
x
f (u)du
定义
x x
x
x 0 f (u)du 0
所以F ( x )为连续函数；
(2)
dF ( x) F ( x x ) F ( x ) lim x 0 dx x （1） 1 lim x 0 x
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由高 斯(Gauss)加以推广，所以通常称 为高斯分布.
(I) 正态分布的定义 若X 的 p.d.f. 为
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
亦称高斯 (Gauss)分布
x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布。
2)
( x)dx 1
3) 对任意连续函数 g (x) ，有
或
g ( x) ( x)dx g (0)
g ( x) ( x x0 )dx g ( x0 )
例1：已知随机变量X的概率密度为
0 x 1 x f ( x) 2 x 1 x 2 0 其它
1
为“点投在黄、蓝两个三角形内, 不落在对角线上” , 1 x 求 P( A)
S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
0
注3
P{x X x x}＝F ( x x) F ( x)
1 2
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
(d)从图形来看： P{ - x <X }= P{ <X +x},
有如下性质：
F ( x) F ( x) 1 F ( ) 0.5
其中F(x)为随机变量 X的分布函数。
1 F ( x) 2
x
例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分
发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻
随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的
概率。
15
45
解：设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P( A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60}
1 e , x 0 F ( x) P{ X x}＝ 0, x 0
x
指数分布的特征性质
非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件
是: 无记忆性,即 P{X s t | X s} P{X t}, s, t 0
证明
P{ X s t | X s} P{ X s t} P{ X s} 1 F (s t ) e t P{ X t} 1 F ( s)
5 20 5 1 60 2
2. 指数分布 Exp( ) 若r.v.X的p.d.f.为
f (x)
x
e x , x 0 f ( x) ＝ e x I ( x 0) 0, x 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
则称X服从参数为>0的指数分布,记作 X~Exp(). 其分布函数为
i 1
若记 ( x) dU ( x) / dx 为
U (x)
的广义导数，则离散
型随机变量的密度函数可以写成
f ( x) pi ( x xi )
i 1
这样离散与连续型随机变量就一致起来了。 需要指出的是有下列重要的性质
0 x 0 1) ( x) x 0
e
( t )2 2 2
dt , x
(e) 正态分布 N ( , 2 ) 的图形形状
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x
1）决定了图形的中心位置，固定，则图形完全 由确定，图形的形状不变，的改变，相当于图 形平移。 2）固定，则图形完全由确定.
Ax(3x 2) 0 x 2 f ( x) 其他 0
试确定常数A,并求 P(1 X 1)
f ( x)dx 1
2
0
Ax(3x 2)dx 1
0
1 A 12
1
P(1 X 1) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
0.1 x
x0 x 0,
(1) P{ X 2} 0.1e0.1x dx e0.2
2
(2) P{X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}
0.1e
0.1x
dx e
0.2
3.5
0.1e
0.1 x
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d. f.
1 证明 f ( x) 1/ 2e
x
为概率分布密度函数。
2 设随机变量X的概率密度为
f ( x) ae
求常数a.
x
答:
1 a 2
Th2 设连续型r.v. X 的分布函数（c.d.f.)为F ( x ), 概
率分布密度函数(p.d.f.)为f ( x )，则 (1) F ( x )为连续函数；（绝对连续函数） (2) 若x是f(x)的连续点，则
f ( x)x
设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F ( x) 1 1 e x 2 x0 x0
求 f (x)
注4从上节已经得到离散型随机变量的分布函数为
F ( x) pi U ( x xi )
0 x 0 其中 U ( x) 1 x 0
1 1 0
1
1 1 x (3 x 2) dx 0 12 6
1
二、几个常用的连续型分布
f (x)
1. 均匀分布 U(a, b) 若r.v.X的p.d.f.为
0
。
。
b
a
x
1 ,a x b 1 f ( x) b a I ( a x b) ba 0，其它
( 1) ( ) 1 x ( ) x e dx ( n) ( n 1)! 0 (1/ 2)
说明 ( ,1) Exp( )
4.正态分布
正态分布是应用最广 泛的一种连续型分布. 德莫佛（De Moivre)最早发现 了二项分布的一个近似公式，这 一公式是正态分布的首次露面.
x x
x
f (u )du
f ( x)
(3) 0 P{ X c} P{c X c}
F (c ) F (c ) 0
对任意实数c，有 P{X=c}＝0。
(4)
F(x)的连续性
P{a X b} F (b) F (a) f (u )du f (u )du