约束、自由度与广义坐标

n≥4 s 3n 6 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： n≥4
3.自由刚体的广义坐标 刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
xA OAcos b
y A OAsin b
C
q r
D
y
xB OAcosb AB cosj
yB OAsin b ABsin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OAsin b AB sin j r (1 cosq ) c2
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 则一般地：
k 3n s
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
设刚体数为n， 则受约束的空间刚体系的自由度数k = 6n -s
受约束的平面刚体系的自由度数：k=？
5.约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不 同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广 义坐标数。 刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上仅一点被固定 （定点运动） 刚体仅被限制作平面平行 运动（平面运动） 自由度 1 3 3 广义坐标
r 1,2,, s
（4）单面约束与双面约束 双面约束：在约束方程中用严格的
O
y
等号表示的约束。
OA为刚性杆： x2 y 2 z 2 l 2
l
z x A
约束方程的一般形式：
f r x1, y1, z1,, xn , yn , zn , x1, y1, z1,, xn , yn , zn , t 0
约束方程的一般形式为：
f r ( x1, y1, z1,, xn , yn , zn ) 0
r 1,2,, s
约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束。 运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等。
f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; x1, y1 , z1 ,, xn , yn , zn ) 0
j
q , j ,y
x 0 , y 0 ,q x0 , y 0 , z 0
刚体仅被限制作平行移动 （平移）
3
四 实例:机构如图,轮C作纯滚动,试写出约束方程和确定自由度。 x xO , yO , b 1. 刚体数目 3; b O
2. 定轴转动刚体 OA ; 平面运动刚体 AB及轮C ;
3. 约束方程(在点O 建立直角坐标) yO 0 xO 0
x
约束方程:
xO 0
yO 0
三、广义坐标、自由度 1.基本概念
自由度：唯一确定质点系空间位置的独立坐标个数
自由度定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数。 空间质点: k 3n s,
k 2n s ,
平面质点:
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量 与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标。 自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，
q r
D B j
xC rq
C
y
yC OAsin b ABsin j r cosq c2
x
整体法: 位形描述
b
A
O
b , j ,q
B j
约束方程:
OAcosb AB cosj BDsin q c1 OAsin b ABsin j BD cosq c2
n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , z n ; x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , z n ; t ) 0
(r=1,…,s) 约束方程的个数为：s
静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。
局部法 总计8个约束方程
4.广义坐标
广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数:n=3
约束方程数：s=8 选广义坐标为:
C B j
b
A
O
q r
D
q j
或
qb
或
q q
5.自由度计算
自由度
k 3*3 s 1
自由度恒等于广义坐标数
整体法: 位形描述 约束方程:
x
b
A
O
b , j ,q
18世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了受约束 质点系的动力学问题。
今天大量工程实际问题作初步 分析时，一般都是受约束系统的建 模问题。首先要确定系统独立的运 动学变量。
研究约束质点系的力 学问题，必须阐明约束， 自由度与广义坐标的概念。
二、约束
1. 约束概念 约束就是限制物体任意运动的条件。 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系,
A 如果限制运动的条件仅是 几何性质的，则称为几何约束。
x
x y z l
2 2 2
2
z
M
曲面上的质点：
f ( x, y, z ) 0
约束方程的一般形式： x
y
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0
(r=1,2, ‥ ‥,s)
q
D
y
点D的位置
局部法: 约束方程：
xO 0 yO 0
xO , yO , b xA , y A ,j xD , y D ,q
x
b
A
O
xA OAcos b
y A OAsin b
B j
xB OAcosb AB cosj
q
D
y
yB OAsin b ABsin j
OAcos b AB cosj BDsin q c1
(r=1,2, ‥ ‥,s)
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， z 这种约束称为定常约束。 定常几何约束
O
l
y A
x
约束方程的一般形式：
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0
非定常几何约束 若约束方程中明显包含时间t， 这种约束就称为非定常几何约束。
刚体的定点运动的描述方法2—卡尔丹坐标
z3 z2 z1 z0
b
O
绕x0轴转过a角 绕y1轴转过b角
a
x0 x1 x 2 x 3
b g
a
g
y3 y1 y2 y0
绕z2轴转过g角
若欧拉坐标或卡尔丹坐标的原点（基点）建立平动坐标
x0 , y0 , z0
组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标。 它们被用于描述刚体的位形。 4.受约束刚体的自由度
对于由n个自由质点组成的自由质点系，则需要3n个 独立坐标，这3n个的坐标集合称为自由质点系的位形。 (3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之 间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
3.
约束的分类 几何约束
单摆: O z
l
（1）几何约束与运动约束 y
运动约束
如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为 运动约束。
纯滚动的圆轮：
y
j
yC r
——几何约束
C
x
x jr 0 ——运动约束
约束方程的一般形式
x
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0
xi xi (q1 , q2 qk , t )
yi yi (q1 , q2 ...... k , t ) q
zi zi (q1 , q2 qk , t )
ri ri (q1 , q2 qk , t )
i=1,2,·· n ·· ··
单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。 OA为柔绳： x2 y 2 z 2 l 2 约束方程的一般形式：
f r x1, y1, z1,, xn , yn , zn , x1, y1, z1,, xn , yn , zn , t 0 或 <0
4.约束方程
wO
A l
j
M
D B
vDE
E
五、 总 结
(1)检查刚体(质点)数目 n。 (2)检查各刚体的运动形式。
(3)列写出约束方程。
(4)计算自由度,确定广义坐标。 (a)空间刚体系 k=6n-s，空间质点系 k=3n-s (b)平面刚体系 k=3n-s, 平面质点系 k=2n-s 实用方法：加锁
大胆的假设 小心的求证
OAsin b ABsin j BD cosq c2
点D的位置
总计8个约束方程
本例为质点与刚体
y
xA , yA x A , y A ,q
具有同一点
l0
k
x
A
x
广义坐标
q
q1 x A
q2 q
yA c
B
自由度
k 2
问题
本运动机构的自由度
E
B
O 2r
D
w
A
j
2r
l
本运动机构的自由度 O
本教材研究：定常、双面、完整约束。
例: 平面刚体位形的描述方法和约束方程
1. 刚体基于两点的描述和约束方程 y A 位形描述:
O
xO , yO xA , y A
xO 0
约束方程:
yO 0
x
x y OA
2 A 2 A
2
2. 刚体基于点线的描述和约束方程 y A
O
b
位形描述: xO , yO , b
受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。
刚体静力学研究 约束, 是探究约束的 原因-------约束力 运动学研究约束,是 探究约束的结果------运动的限制 y A
x A c1
y A c2
F
O
x
2. 独立坐标、位形空间、约束方程的概念
(1) 坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这 些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。 (2)位形
问题
观察运动机构所给的运动条件
E
B
O 2r
D
w
A
j
2r
l
观察运动机构所给条件运动条件 O
wO
A l
j
M
D B
vDE
E
约束、自由度与广义坐标
一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系 统与非自由系统。
17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于 自由质点或自由质点系动力学。(两体问题)
O
y
l
z x A
分析本机构的自由度
E
B
O 2r
D A
j
w
2r
l
分析本机构的自由度
O
wO
A
l
j
M D B
vDE
E