4二元关讲义系和函数

6
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
多重直积
A1A2 An = (A 1 A 2 A n 1 ) A n
={ x1,x2, ,xn| x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } 例 A={1，2} B={a，b} C={α，β}
A B 1 ,a , 1 ,b , 2 ,a , 2 ,b
A B C 1 , a , , 1 , a , , 1 , b , , 1 , b , , 2 , a , , 2 , a , , 2 , b , , 2 , b ,
A A 1 , 1 , 1 ,2 ,2 , 1 ,2 ,2
记 A A A A n
（1，2） ， （2，1）代表不同的点。 （1，1） ， （2，2）代表点（ 允许 x=y）
例3 A为操作码集合，B为指令码集合，对a∈A，b∈B， 则<a,b>为一序偶，表示一条地址指令
有序对 <x,y>不是由两个元素组成的集合 {x,y}
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
7
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
例 计算机内的字是由固定的n个有序二进位所组成， 它的全体可以表示成n重有序组形式
A n A A A . A . . a 1 , a 2 ,a n . / a i . A . , i 1 , 2 , , 3 .n ...
R a , 1 b , 1 c ,2 d ,2 e , 3 f , 3
③这种关系称为二元关系，它只涉及两个客体间的关系 ④若 A a ,b ,c ,d ,e ,f,g ,B 1 .2 .3
则A×B 的任何子集都定义了一个二元关系。
4二元关系和函数
精品jin
4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
序偶
两个具有固定次序的客体组成的集合，记作：<x,y>
1.序偶可看作是具有两个元素组成的集合，即<x,y>={{x},{x,y}}。 2.序偶刻画了两个客体间的次序,它并不表示由两个元素组成的集合
<x,y>≠<y,x>; {x,y}={y,x} 3.序偶中的元素分别称为的第一客体与第二客体 4.序偶只有当其两个客体相同且次序相同时才相等 5.序偶的元素可分别来自两个集合，它们可以代表不同类型的事物，
2 d
d与2间存在关系R记dR2
e 3
e与3间存在关系R记eR3
f
e与3间存在关系R记eR3
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
10
4.2关系及运算——关系
Sets 集合
①满足的关系可看成是一个有序偶：(p,q) 如aR1可写成有序偶： (a,1)
②满足R的所有关系可看成是一个有序偶的集合，这个集叫R，即
记作
A B a ,b |a A ,b B
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
5
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
例 上面例3所有指令的集合构成一个操作码与指令 码集合的笛卡儿积A×B
例 平面上直角坐标中的所有点可用笛卡儿乘积表示
R R x ,y |x R ,y R (R为实数集)
其中、 A0,1
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
8
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
定理 设A，B，C为任意三个集合，则有 a) A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）； b) A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）； c)（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C）； d)（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）。
例设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以
一共可住2n个旅客。在旅馆内，旅客与房间有一定的关
系，我们讨论关系“某旅客住在某房间”，用R表示这
种关系，设n=3旅客分别为a,b,c,d,e,f 旅客住房间用表
示:
a 1
b
a与1间存在关系R记aR1 b与1间存在关系R记bR1
cபைடு நூலகம்
c与2间存在关系R记cR2
x 1 ,x 2 , ,x n 1 ,x n
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
4
4.1笛卡儿积与二元关系——笛卡尔积
Sets 集合
笛卡尔积
设A和B是任意两个集合，若序偶的第一成员是A的元素，
第二成员是B的元素，所有这样序偶的集合，称为集合A与
B的笛卡尔积（直积），
但次序确定
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
2
4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
例1 A={1，2，……，24} ，B={1，2，……，60} ， 对a∈A，b∈B，则<a,b>为一序偶，表示几点几分。
例2 在笛卡儿坐标系中，平面上点的坐标（x，y） 就是有序对。
定理 若 C≠Ø，则
A B（AC BC） （CACB）
定理 设 A，B，C，D 为四个非空集合， 则 ABCD 的充要条件为 AC，BD。
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.
9
4.2关系及运算——关系
Sets 集合
关系在日常生活中无处不在， 我们熟知的一些常见的关系刻划着事物的结构。
3
4.1笛卡儿积与二元关系——序偶
Sets 集合
三元组
三元组<a,b,c>是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶， 可形式化表示为<<x,y>，z>.
1.<x,<y,z>>不是一个三元组,只是一个序偶 2.四、五元组类似定义 3.n元组 n元组是一个序偶，其第一元素为（n-1） 元组可形式化表示为：
例 一天内的时间可用×时×分表示， 它们的全体可用笛卡儿乘积表示
A B a ,b |a R ,b R
其中 A 0 ,1 ,2 ..2 . ,B .3 . 0 ,1 ,.5 ..9 ..
直积不具有交换率
例设
试求A×B和B×A
由此得
3/18/2021
liu qun, northeastern Univ.