解析几何第一章向量与坐标

第一章向量与坐标

本章教学要求：

1.正确理解向量的有关概念，并掌握向量的线性运算及其运算规律。

2.弄清标架与坐标系的联系和区别

3.理解向量乘法运算的定义，掌握他们的运算规律和熟悉它们的几何性质

4.能熟练地进行向量的各种运算，并能利用向量或坐标来解决一些集合问题

§1.1 向量的概念

一、相关定义

1.向量（矢量）：既有大小又有方向的量。简称矢

例如：位移，力，速度，加速度

反例：（数量）温度，时间，质量，密度，功，长度，面积，体积

2.表示：

①：有向线段表示，始点～始点终点～终点方向～向量的方向

长度～向量的大小（向量的模）

例如：AB A为始点B为终点 A B

②：小写字母a b c a

③：黑体字母a b c a 模长a

3.两种特殊的向量：

①零向量0：模长等于0的向量方向：不确定

非零向量：不是零向量的向量

②单位向量：模等于1的向量

向量a的单位向量：与向量a具有同一方向的单位向量记作：a0

4.向量间的几种特殊关系

①、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.

②、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.

注意：两向量相等与否仅取决于他们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是自由向量。

③、互为相反向量：两个模相等，方向相反的向量。

a的相反向量记作-a AB的相反向量-BA

④、向量共线：平行于同一直线的一组向量

特殊情况：零向量与任何共线的向量组共线

⑤、共面向量：平行于同一平面的一组向量

特殊情况：零向量与任何共面的向量组共面

5例题讲解

（1）下列情形中向量的终点各构成什么图形

①把空间中一切单位向量归结到共同的始点《球》

②把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点《单位圆》 ③把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点《直线》

④把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点《两个点》

（2）

（2）设△ABC 和△C B A '''分别是三棱台ABC-C B A '''的上下底面，试在向量AB ,BC ,CA ,B A '',C B '',A C '',A A ',B B ',C C '中找出共线向量和共面向量。

§1.2 向量的加法

一．相关定义

1. ①平行四边形法则：如果以两个向量OA ,OB 为邻边组成一个平行四边形OACB,那么对角线向量OB OA OC +=,这种求两个向量的加法叫做平行四边形法则

特点：作用于一点的两个不共线的力的合力 求法：就是以OA ,OB 为邻边的平行四边形OACB 的对角线OC 图形：

B C

b c b

O a A

字母表示：OC C OB OA b a ==+=+

②三角形法则：设已知向量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作向量a OA =，

b AB =，得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的向量

c OB =，叫做两个向量a 与b 的和，记作b a c +=，求两个向量a ，b 的和b a +的运算叫做向量的加法

图形： B

c b

O a A

字母表示：OB AB OA =+

③:多边形法则：两个向量的加法推广到任意有限个向量a 1，a 2，a 3…a n 的和，就可以记作a a a n ++21

2. 向量加法的运算律：

①：交换律：a b b a +=+

②：结合律：（b a +）+c =()

c b a ++

③：a a =+0 ④：()0=-+a a ⑤：OX BC AB OA =+++

3. 向量的减法：当向量b 与向量a 的和等于向量c ，即c a b =+，我们把向量a 叫作向量c 与b 的差，记作b c a -= 法则，根据向量三角形加法法则：OB OA BA -=

减向量指向被减向量

图形： B

b b a -

O a A

4. 性质：≤

a a +≤

++32

二．例题讲解

例1：设互不共线的三向量c b a ,,，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是他们的和向量是零向量

例2：在平行六面体ABCD-D C B A 1111中，a AB =，b AD =，C A A =1,试用a ，

b ，

c 来表示对角线向量1AC ,C A 1

例3：用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形

§1.3 数量乘向量

一．相关定义

1.数量与向量相乘：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，它的模是

λ=，a λ的方向，当0 λ时与a 同向，当0 λ时与a 反向，我们把这种运算叫作数量与向量的乘法，简称为数乘

2.向量a 和它的单位向量a 0

a 0=，或者

a = 0

4. 数乘运算律

①1*a =a

②结合律()()a a λμμλ=

③第一分配律()a a a μλμλ+=+ ④第二分配率()b a b a λλλ+=+

三．例题讲解

例1：设AM 是△ABC 的中线，求证：()

AC AB AM +=21

例2：用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半

四．练习：

①已知四边形ABCD 中，c a AB 2-=，c b a CD 865-+=，对角线AC,BD 的中点分别为E,F 求EF