大学概率论第二章答案

习题 2-2 1. 设 A 为任一随机事件, 且 P(A)=p(0<p<1). 定义随机变量 ⎧1, A发生, X =⎨ ⎩0, A不发生. 写出随机变量 X 的分布律. 解 P{X=1}=p, P{X=0}=1-p. 或者 X 0 P 1-p
1 p
2. 已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值, 且取这四个值的相应概率依次
λ
3. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
⎧ 0, ⎪ F ( x) = ⎨ x 2 , ⎪ 1, ⎩
求: (1) X 的概率密度; (2) P{0.3 < X < 0.7} . 解 可得
x < 0, 0≤x≤1, x > 1,
(1) 根据分布函数与概率密度的关系 F ′( x ) = f ( x) ,
习题 2-4 1. 选择题 (1) 设 f ( x) = ⎨
.
⎧ 2 x, x ∈ [0, c], ⎩0,
x ∉ [0, c].
(B)
如果 c=(
), 则 f ( x ) 是某一随机变量
的概率密度函数. (A) 解
1 . 3
1 . 2
(C) 1.
(D)
c
3 . 2
由概率密度函数的性质
∫
+∞ −∞
f ( x )dx = 1 可得 ∫ 2 xdx = 1 , 于是 c = 1 ,
故 q = 1− p =
2 3
. 从而
2 19 P{Y ≥ 1} = 1 − P{Y = 0} = 1 − ( )3 = . 3 27 4. 在三次独立的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功 19 , 求每次试验成功的概率. 一次的概率为 27
解
设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是
3. 设随机变量 X 的分布函数为
⎧0, x < 0, ⎪ ⎪x 0≤x < 1, F(x)= ⎨ , 2 ⎪ ⎪ ⎩1, x≥1,
求 P{X≤-1}, P{0.3 <X<0.7}, P{0<X≤2}. 解 P{X ≤ −1} = F (−1) = 0 , P{0.3<X<0.7}=F(0.7)-F{0.3}-P{X=0.7}=0.2, P{0<X≤2}=F(2)-F(0)=1. ; 在 8 4 事件 {−1 < X < 1} 出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与 该区间的长度成正比. (1) 求 X 的分布函数 F ( x ) = P{ X ≤x}; (2) 求 X 取负值 的概率 p. 解 (1) 由条件可知, 当 x < −1 时, F ( x ) = 0 ; 1 当 x = −1 时, F ( −1) = ; 8 当 x = 1 时, F(1)=P{X≤1}=P(S)=1. 1 1 5 P{−1 < X < 1} = F (1) − F (−1) − P{ X = 1} = 1 − − = . 所以 8 4 8 易见, 在 X 的值属于 ( −1,1) 的条件下, 事件 {−1 < X < x} 的条件概率为 P{−1 < X ≤ x | −1 < X < 1} = k[ x − ( −1)] , 取 x=1 得到 1=k(1+1), 所以 k= 因此 5. 假设随机变量 X 的绝对值不大于 1; P{ X = −1} =
1
, P{ X = 1} =
1
1 . 2
P{−1 < X ≤ x | −1 < X < 1} =
于是, 对于 −1 < x < 1 , 有 P{−1 < X ≤ x} = P{−1 < X ≤ x, −1 < X < 1}
x +1 . 2
= P{−1 < X < 1}P{−1 < X ≤x | −1 < X < 1} 5 x + 1 5x + 5 = × = . 8 2 16 对于 x ≥1, 有 F ( x ) = 1. 从而
求: (1) 常数 A；(2) X 的分布函数 F(x). 解 (1) 由概率密度的性质可得
1 = ∫ xdx + ∫ ( A − x )dx =
0 1
1
2
1 2
1
x
2
+ [ Ax −
0
1 2
2
x ]
1
2
= A − 1,
于是 (2) 由公式 F ( x ) =
A = 2；
∫
x −∞
f ( x )dx 可得
( x−μ ) ⎧ 1 − ⎪ e 2σ , x≥0, (C) f ( x ) = ⎨ 2π σ ⎪ x < 0. ⎩0,
2 2
(D) f ( x ) = ⎨
⎧e − x , x≥0, ⎩0,
x < 0.
解
由概率密度函数的性质
2
∫
+∞ −∞
f ( x ) dx = 1 可知本题应选(D).
2
P2 = P {Y ≥ μ + 5 }, 则(
8 8 1 3 . 即 (1 − p ) = , 故 p= . 27 27 3
⎧ 0, ⎪0.15, ⎪ 解 (1) F(x)= ⎨ ⎪0.35, ⎪ ⎩ 1,
x < −1, − 1≤x < 0, 0≤x < 1, x≥1.
(2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15; (3) P{X<2}= P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1; (4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35. 2. 设随机变量 X 的分布函数为 F(x) = A+Barctanx -∞<x<+∞. 试求: (1) 常数 A 与 B; (2) X 落在(-1, 1]内的概率. 解 (1) 由于 F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知
当 x≤0 时, F ( x ) = 0 ; 当 0 < x ≤1 时, F ( x ) = 当 1 < x ≤2 时, F ( x ) = 当 x>2 时, F ( x ) = 1 .
∫
∫
x 0
1
xdx =
1 2
xFra Baidu bibliotek
x2 ; x2
2 −1;
0
xdx + ∫ (2 − x)dx = 2 x −
1
所以
⎧0, ⎪1 ⎪ x2 , ⎪2 F ( x) = ⎨ 2 ⎪ 2 x − x − 1, ⎪ 2 ⎪1, ⎩
= P{ X ≤ μ − 4 }, (4) 设随机变量 X ~ N ( μ , 4 ) , Y ~ N ( μ , 5 ) , P 1
).
(A) 对任意的实数 μ , P = P2 . 1
(B) 对任意的实数 μ , P < P2 . 1 (D) 对任意的实数 μ , P > P2 . 1
= P2 . (C) 只对实数 μ 的个别值, 有 P 1
5 9
k
所求概率为
3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布, 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布, 若 P{ X ≥ 1} = 解
k
, 求 P{Y ≥ 1} .
n−k
注意 p{x=k}= Cn p q
,由题设
5 9
= P{ X ≥ 1} = 1 − P{ X = 0} = 1 − q 2 ,
π ⎧ A + B(− ) = 0 ⎪ 1 1 ⎪ 2 ⇒ A= , B= . ⎨ 2 π ⎪ A + B( π ) = 1 ⎪ 2 ⎩ 1 1 F ( x) = + arctan x, − ∞ < x < +∞. 于是 2 π (2) P{−1 < X ≤1} = F (1) − F (−1) 1 1 1 1 = ( + arctan1) − ( + arctan(−1)) 2 π 2 π 1 1 π 1 1 π 1 = + ⋅ − − (− ) = . 2 2 π 4 2 π 4
⎧ 0, ⎪ ⎪ 5x + 7 F ( x) = ⎨ , 16 ⎪ ⎪ ⎩ 1,
(2) X 取负值的概率
x < −1, −1 < x < 1, x≥1. 7 16
p = P{ X < 0} = F (0) − P{ X = 0} = F (0) − [ F (0) − F (0−)] = F (0−) =
⎧2 x, 0 < x < 1, f ( x) = ⎨ 其它. ⎩ 0,
(2) P{0.3 < X < 0.7} = F (0.7) − F (0.3) = 0.7 − 0.3 = 0.4 . 4. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数
2 2
0 < x≤1, ⎧ x, ⎪ f ( x) = ⎨ A − x, 1 < x≤2, ⎪ 0, 其它. ⎩
uα 满足 P{ X > uα } = α , 若 P{ X < x} = α , 则 x 等于( (B) u α . (C) u1-α . (A) uα .
2
). (D) u1−α .
1−
2
2
解 答案是(C). 2. 设 连 续 型 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 λ 的 指 数 分 布 , 要 使
7. 设随机变量 X 的概率密度为
x ≤ 0,
0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 2,
x > 2.
⎧1 ⎪ ( x + 1), 0 < x < 2, f ( x) = ⎨ 4 ⎪ 0, 其它, ⎩ 对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率. 解 根据概率密度与分布函数的关系式
解
由正态分布函数的性质可知对任意的实数 μ , 有
P = Φ (−1) = 1 −Φ (1) = P . 1 2
因此本题应选(A). (5) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 且 f ( x ) = f ( − x ) , 又 F(x)为分布函 数, 则对任意实数 a , 有( (A) F ( − a ) = 1 −
1 3 5 7 , , , . 试确定常数 c, 并计算条件概率 P{ X < 1 | X ≠ 0} . 为 2c 4c 8c 16c
解 由离散型随机变量的分布律的性质知，
1 3 5 7 + + + = 1, 2c 4c 8c 16c
所以 c =
37 . 16
1 8 P{ X = −1} 2c P{X<1| X ≠ 0 }= = = . 1 5 7 25 P{ X ≠ 0} + + 2c 8c 16c
0
故本题应选(C ). (2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥c} = P{ X < c} , 则 c 等于( (A) 1. (B) 0. (C)
).
1 . 2
(D) -1.
解 因为 P{ X ≥c} = P{ X < c} , 所以 1 − P{ X < c} = P{ X < c} ,即 2 P{ X < c} = 1 , 从而 P{ X < c} = 0.5 ,即 Φ (c ) = 0.5 , 得 c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). 1 ⎧ ⎧cos x, x ∈ [0, π ], ⎪ , x < 2, (B) f ( x ) = ⎨ 2 (A) f ( x ) = ⎨ 其它. ⎩0, ⎪ ⎩0, 其它.
a 0
). (B) F ( − a ) =
∫ f ( x ) dx .
1
(C) F ( − a ) = F ( a ) . 解
2 (D) F ( − a ) = 2 F ( a ) − 1 .
2
−
∫ f ( x ) dx .
0
a
由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).
2
(6) 设随机变量 X 服从正态分布 N ( μ1 , σ 1 ) , Y 服从正态分布 N ( μ 2 , σ 2 ) , 且 P{ X − μ1 < 1} > P{ Y − μ 2 < 1}, 则下式中成立的是( ). (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. (A) σ1 < σ2. 解 对μ1＝μ2时, 答案是(A). (7) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1), 对给定的正数 α (0 < α < 1) , 数
19 ， 27
那么一次都没有成功的概率是
5. 若 X 服从参数为 λ 的泊松分布, 且 P{ X = 1} = P{ X = 3} , 求参数 λ . 由泊松分布的分布律可知 λ = 6 . 习题 2-3 1. 设 X 的分布律为 解 X -1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数 F(x), 并计算概率 P{X<0}, P{X<2}, P{-2≤X<1}.
1 P{k < X < 2k} = 成立, 应当怎样选择数 k? 4 解 因为随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 其分布函数为 ⎧1 − e − λ x , x > 0, F ( x) = ⎨ x≤0. ⎩0,
由题意可知 1 = P{k < X < 2k} = F (2k ) − F (k ) = (1 − e−2kλ ) − (1 − e−λk ) = e−λk − e−2λk . 4 ln 2 k= . 于是