圆锥曲线离心率的求法总结版(教师)

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1,3-P ()

5,2-=a 离心率的专题复习

椭圆的离心率10<e ，抛物线的离心率1=e ．

一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a

c

e =

来解决。 例1：已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角

形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B.

13- C.

2

1

3+ D. 13+

解1：

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）

A.

43 B. 32 C. 21 D. 4

1 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，

∴2=a ，1=c ，所以离心率2

1

==a c e .故选C.

变式练习2： 点 在椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P

且方向为 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

33 B 31 C 22

D 2

1 解：由题意知，入射光线为()32

5

1+-

=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=0

553

2

c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A

变式练习3：[2016·全国卷Ⅲ] 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C 122

22=+b

y a x （0>>b a ）的左

焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交

于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )

A. 13

B. 12

C. 23

D. 34

12．A [解析] 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0

－c ＋a

(x ＋a )，令x ＝0，得E （0，

ay 0－c ＋a ）.BM 所在直线方程为y ＝y 0

－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a .由题意得－ay 0－c －a ＝12×ay 0－c ＋a

，解得a ＝3c ，即e ＝c a ＝1

3.

二、构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：设双曲线122

22=-b

y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原

点到直线的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.

2 D.

3

3

2 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得

c b a ab 4

3

2

2=

+， 又2

22b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()

4222316c a c a =-，整理得

01616324=+-e e ，

得42

=e 或342

=e ，又b a <<0 ，∴212

2222222>+=+==a

b a b a a

c e ，∴42

=e ，∴2=e ，故选A

变式练习1：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，0

21120=∠MF F ，则双曲线

的离心率为（ ）

A

3 B

26 C 3

6 D 33

解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则

2221b c MF MF +==，又c F F 221=，

在21MF F ∆中， 由余弦定理，得

2

12

2

12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠,

即(

)(

)

(

)

2

22

22222421b

c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵2

2

2

a c

b -=，∴2122

22-=--a c a ，∴2223c a =，∴2

32

=e ，∴26=e ，故选B

变式练习2：【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为

A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）

A ．

63

B ．

33

C ．

23

D ．13

【答案】A

变式练习3：[2016·全国卷文Ⅰ] 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4，则该椭圆的离心率为( )