材料力学课件 第五章 弯曲应力

1.变形现象（Deformation phenomenon )
纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长.
横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直.
(Stresses in Beams)
2.提出假设 ( Assumptions） （a）平面假设：变形前为平面的横截面
physical relationship
of deformation
物 理 关
系
static relationship
Distribution regularity
of stress
静
力
关
系
Establish the formula
观察变形， 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
(Stresses in Beams) 一、实验（ Experiment）
FN1
A
ḿ
x B1
B
FN2
ym
n
F1 F2 m n
mn
x
dx
m’
z
m
h yO
A1
A
m’
y
b
m
q(x)
n
B1
x
B
n
dx
(Stresses in Beams)
z
m’
z
m
n
y
x
FN1
A1
ḿ
dFS’
A
B1
B FN2
h yO
A1
B1
x
τ’
B
m’ τ A
ym
n
y
b
m
n
dx
（c）在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFS′.故在此面上就有
面的空间平行力系，这一力系简化
得到三个内力分量.
M
内力与外力相平衡可得
FN
AdFN
σdA
A
0
（1）
Miy
AdM y
zσdA 0 （2）
A
Miz
AdM z
yσdA M（3）
A
Mzz
O
y
dA
x σdA
FN
My y z
dFN σdA
dM y z dA dMz y dA
(Stresses in Beams)
ycmax 和 yt max 直接代入公式
σ
My Iz
σc max
yc max
σt max
Myt max Iz
yt max
M
z
y
σtmax
σ c max
Myc max Iz
(Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending)
20
80
F1=9kN
F2=4kN
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
120
y2
20
y2
y1
FRA A
z
(Stresses in Beams)
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
最Байду номын сангаас正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
BD
M C 2.5kN m
1m
最大负弯矩在截面B上
Chapter5 Stresses in beams
(Stresses in Beams)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5-1 引言 ( Introduction) §5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) §5-3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) §5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition) §5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
平面弯曲时横截面横力弯曲横截面上既有FS又有M的情况
F
F
三、纯弯曲（Pure bending)
A
B
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
D
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
a
称为纯弯曲.
F+
简支梁CD段任一横截面上，剪力 等于零，而弯矩为常量，所以该段梁 的弯曲就是纯弯曲.
Fa
+F
+
(Stresses in Beams)
(Stresses in Beams) （2）分析方法(Analysis method)
（a）用横截面m-m , n-n从梁中截取 dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所 以两截面同一y处的正应力也不等； （b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
z
y
A1
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的
σtmax σcmax（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σtmax [σt] σcmax [σc ]
(Stresses in Beams)
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MPa.试计算压板传给工件的最大
-
+
M B 4kN m
B截面
80
4kN
σt max
M B y1 Iz
27.2MPa
[σt]
20
σ c max
M B y2 Iz
46.2MPa
[σc]
C截面
120
20
σt max
MC y2 Iz
28.8MPa
[σt]
(Stresses in Beams)
§5-4 梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)
将应力表达式代入（1）式，得
FN
E ydA 0
A
E
A
ydA
0
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
Miy
zE ydA 0
A
E yzdA 0
A
I yz
yzdA 0
A
自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
Miz
yE ydA M
A
E y2dA M
Hooke’s Law σ Eε M
z
所以 σ E y
?
? 应力分布规律：
O
x
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
的距离成正比.
待解决问题
中性轴的位置
?
中性层的曲率半径
(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截
dx
ρ
dx
d
图（a）
O
O
zb
Oyx b
y
图（b）
y
O’
b’
z
y
O’
x
b’
图（c）
bb ( y)d
(
y)d d
d
y
bb dx OO O'O' d
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
(Stresses in Beams) 三、物理关系(Physical relationship)
(Stresses in Beams)
§5-1 引言 (Introduction)
一、弯曲构件横截面上的应力
(Stresses in flexural members)
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力 正应力
只有与切应力有关的切向内力元素
况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）；
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
σmax
M ymax Iz
引用记号
W
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σmax
M W
(Stresses in Beams)
（1）当中性轴为对称轴时
切应力τ.
根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相 等. 各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可 求出.
(Stresses in Beams)
（3）公式推导(Derivation of the formula) 假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，z
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
σmax
M max W
[σ]
(Stresses in Beams)
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
（1） 强度校核
M max W
[σ]
（2）设计截面
W
M max [σ]
（3）确定许可载荷 Mmax W [σ]
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] [σc ]
实心圆截面
W
Iz d/2
πd 4 / 64 d/2
πd 3 32
矩形截面
W
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
空心圆截面
W
πD3 32
(1 4 )
α
d D
h
d
z y
b
z y
D d
z y
(Stresses in Beams)
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
A
1M
E Iz
E
Iz
M
(Stresses in Beams)
将
1M
EIz
代入
σ
E
y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
σ
My Iz
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
(Stresses in Beams)
讨论
（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情
dFS = dA 才能合成剪力；
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN = dA 才能合成弯矩.
所以，在梁的横截面上一般既有正应力，
又有切应力.
mM
m FS
m
m FS m M
m
(Stresses in Beams)
二、分析方法 (Analysis method)
平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)
§5-2 纯弯曲时的正应力
(Normal stresses in pure beams )
deformation geometric
Examine the deformation， then propose the hypothesis
变 形 几 何
relationship
关
系
Distribution regularity
明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的
计算横力弯曲时横截面上的正应力.
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为
σ
M(x) W
(Stresses in Beams) 二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula )
1.在弹性范围内 (All stresses in the beam are below the proportional limit)
一、梁横截面上的切应力（Shear stresses in beams）
1.矩形截面梁(Beam of rectangular cross section)
（1）两个假设(Two assumptions) F1
F2
q(x)
（a）切应力与剪力平行；
（b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）.
变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压. 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
(Stresses in Beams)
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
一、横力弯曲(Nonuniform bending)
当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在
此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力
使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压
应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
F
Wz[σ] a
3kN
+
14 30
20
(Stresses in Beams)
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面
对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h 5
3.平面弯曲（Plane bending）
4.直梁（Straight beams）
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.
1.数学表达式（Mathematical formula)
FN1 A1 σ1dA
y A1
A1
MIyz 1dA
M Iz
A1 y1dA FN1
允许压紧力F.
FRA
FRB
F
解：（1）作出弯矩图的最大弯
A
矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数
B
C
2a
a
Fa
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07cm4 1cm
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]