对一道高考题的探究和拓展

① 当ａ＝ ５ 时， 数列 ｛ ｝ 的前３ 项 依次 证 明： 设Ｉ Ｏ ＡＩ＝ ｒ Ａ ，Ｉ ＯＢｌ＝ Ｔ Ｂ ， Ａ（ ｒ Ａ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ， ｒ Ａ ｓ ｉ ｎ ） ， 则点Ｂ 坐标可设为
’（ ｒ Ｂ Ｃ Ｏ Ｓ （ ｏ ＋ ３ 丌 ） ， ｉ ｎ （ ＋ ） ） ，
１ ．试 题
为５ ， ３ ， ２ ；
②对数列 ｘ 忆 ｝ 都 存 在 正整 数 ｋ ，当ｎ ≥
ｋ时 总有 Ｘ ＝ ｘ ｋ ；
⑧ 当 ｎ≥１ 时， Ｘ ｎ＞
一１ ；
④ 对某个正整数 ｋ ， 若Ｘ ｋ ＋ １ ≥Ｘ ｋ ， 则Ｘ ｋ ＝
【 ］ ．
其 中的真命题有— 题 的编号） ２ ． 参考答案 — ． （ 写 出所有真命
记［ Ｘ 】 为不超 过实 数 Ｘ的最大 整数 ， 例 如，
［ ２ ］＝ ２ ，［ １ ． ５ 】＝ １ ，［ 一 ０ ． ３ 】＝ 一１ ． 设ａ 为 列 ｘ ） 满 足Ｘ ｌ＝ ａ ，Ｘ ｎ ＋ ｌ＝ （ ｎ∈Ｎ ） ， 现有下列命题 ：
① 代入求值， 即知 ① 正确 ． ② 用 特殊 值， 如 ａ＝ ３ 即得 Ｘ ｌ＝ ３ ， Ｘ ２＝
２， Ｘ３＝ １ ， Ｘ４： ２， Ｘ５＝ １， Ｘ６＝ ２， Ｘ７＝ １ ， … ．
２
数列 ｘ 从 第 二项起 以 “ ２ ，１ ” 为 周 期 重 复 出 现，因此 此 时 不 存 在 正 整 数 ｋ ，使 得 当ｎ≥ 时总有 Ｘ ｎ＝Ｘ ｋ ， 故 ② 不正确．
联系呢 ？
一 １ ．
综上所述 Ｘ ｎ＞
一１ 成立， 因此 ③ 正确．
Ｘｋ ＋
④ 因为 Ｘ ｋ ＋ １ 一Ｘ ｋ≥０ ， 所以
２
≥ ＋ 一 南 ≥ 。 ， 即 ［ ａ ］
—
≥ ０ ， 于
是 一 Ｘ ｋ ≥ｌ 旦Ｉ — Ｘ ｋ ≥ ０ ， Ｘ ｋ ≤ ． 又
一
２ ２
数 学教 学
２ ０ １ ３ 年第 ７ 期
对一道高考题 的探究和拓展
６ １ ０ ０ ４ １ 四川省 成都 市第七 中学 巢 中俊 张世永
２ ０ １ ２ 年 高考 四川卷 数学理科 第 １ ６ 题 是一 道学 生颇 为陌生的试题， 重 点考查学 生阅读 、 Байду номын сангаас临场 分 析 和解 决 问题 的能 力．由于试 题涉 及 的“ 下取整” 函数 的意 义和 性质学 生不太 熟悉， 因此 本试题 的得 分率极低 ． 考试 后， 我们 在解 决试题 的基 础上进行 了拓展研 究， 还得 到 了一 些有意义的结论 ， 加深 了对 原试题 的理解．
即Ｂ（ 一 ｒ Ｂ ｓ ｉ ｎ ０ ， ｒ Ｂ ｃ ｏ ８ ．
于是将 上述 结论 作 了一个 相应 的几 何解 释： 若椭 圆 （ 或者双 曲线） 过一圆的外切菱形 的 四个 顶 点， 则也 过此 圆外切 正方 形 （ 平 行 于边 长 的对称轴 为圆锥 曲线的对称轴） 的四个顶点． 四 、 后记 在笔者 以往 的教 学过程 中， “ 几何画板” 一 直作 为一种好 的 “ 作 图工具” 辅助 教学， 但 是在 这次探 究过程 中， 让笔者看 到了“ 几何画板” 别 样 的“ 风景” ， 得 到 了“ 新 发现” ， 这 对于 笔者 是
半 ＞ 掌
＝ 一
［ Ｘ ｎ ９ － ２ ］ ．
所 以Ｘ ＋ １≥
１ ；
若 ｎ － ＋ ［ ］ 是 偶 数 ， 则
一 －
、
注 意到 １ ＝ａ≥ｍ ≥ｍ， 所 以Ｘ 他≥ｍ 下 面 我 们 分 两 步 证 明：
２
＞
掌
ａ
２ 一 —— ＿ ＞
／ ｍ － ： ｌ ＝ ＋ ｖ ￣ １ ， ｛ ｎ 礼 ＝ ： ｋ ＋ ２ ｔ ） ＋ ｌ
证 明： 显 然 ｚ ∈ Ｎ ． 考 虑 到 当Ｚ 为
用 Ｘ一１ ＜ ≤Ｘ 的性质分析如下：
若 ＋ ［ ｌ 一 Ｘ ａ ｎ ］ Ｉ 是 奇 数 ， 则
：
≥Ｔ ２ Ｖ ￣－２
由③ 知Ｘ ｋ＞ 、 ／ ／ 一１ ，即 、 ／ 一１＜Ｘ ｋ≤ ｖ ｉ ａ ，
＝
因此Ｘ ｋ ＝ｆ 】 ， 故 ④ 正确．
一
当把 结论回归到 原题 时， 可 以看 出这里蕴
含 了我们 熟 悉 的几 何 图形：圆 、菱 形 、正方 形 、椭 圆、双 曲线 ， 那 么它们之 间又有 如何的
仍有一些值得继续探索和思考的问题． 例如在抛物线 中是否有类似 的结论呢 ？ 又如 若直 角三 角形 的顶 点 （ 二 ） 为椭 圆内任
意一点， 结论会是怎样呢？
２ ０ １ ３ 年第 ７ 期
数 学教 学
Ｘ＇ ｒ ｔ￣ ＇
一 ２ ３
③ 当ｎ＝１ 时， Ｘ ｌ 一（ 一１ ） ＝ａ 一 ＋
＝
（ 一 ） ＋
当ｎ ＞ １ 时，考 虑 到 Ｘ ｎ 是 整 数，并 运
＞
（ ｔ ∈Ｎ） ， 且｛ ｚ ｎ ） ｉ ＝［ ］ ．
７’
１
７。
＝ ｎ＋ ｂ ， ０ ｒ ＋ ２＝ １
．
即圆锥 曲线 ａ ｘ ＋ｂ ｙ ＝ １ 过点 （ Ｘ Ｏ ， ） ， 其 中ｌ ０ Ｉ ＝Ｉ Ｙ ｏ ｌ ＝ｒ ．
３ ．结 论 的 几何 解 释
个 启发， 随着科技 的进步 ， 数 学 的探究应 该 要善 于借助 科技手段做 “ 数 学实验” ， 这 样不仅 能事半功倍 ， 还能有一些意想不到 的结果． 虽然得到 了这些 结论是令人高兴 的， 但是
由点 、Ｂ在圆锥 曲线上得０ ｒ 乏 Ｃ Ｏ Ｓ ０＋
ｂ ｒ Ａ ２ ｓ ｉ ｎ 。０ ＝ １
，
ａ ｒ ２ ８ ｉ ｎ ＋ ６ ｒ 刍 Ｃ Ｏ Ｓ ０ ＝１ ．
ｒ 白
于是 ÷ ＋÷ ＝ａ ＋ｂ ． 注意到ｒ 为直角三
ｒ
角形 斜 边上 的高， 所 以 ＝ １＋可 ｌ， 从 而